Puissances
Calculer avec des puissances, et distinguer un exposant d’un facteur.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 2 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, c'est souvent là que ça se joue.
Un exposant ne dit pas combien, il dit combien de fois
Le petit nombre en haut n’est pas un nombre de plus dans le calcul. Il compte les répétitions.
2 puissance 5 veut dire 2 fois 2 fois 2 fois 2 fois 2, c’est-à-dire 32.
Ça ne fait pas 10. Tant que tu peux réécrire la puissance en produit, tu ne peux pas te tromper de sens.
Multiplier deux puissances de la même base
Regarde ce qui se passe quand on écrit tout en produit. 2 puissance 3 fois 2 puissance 2 vaut trois 2 fois deux 2. En tout, cinq facteurs 2.
Donc les exposants s’AJOUTENT : 2 puissance 3 fois 2 puissance 2 égale 2 puissance 5.
Les puissances de dix, et pourquoi elles servent partout
Avec 10, l’exposant compte les zéros : 10 puissance 3 égale 1000.
C’est ce qui permet d’écrire les très grands nombres sans les compter : 5 fois 10 puissance 4 vaut 50 000.
Un exposant négatif ne rend rien négatif. Il divise au lieu de multiplier : 10 puissance moins 2 égale 0 virgule 01. Le résultat reste positif.
Voici où presque tout le monde se trompe
Première erreur : lire l’exposant comme un facteur, et faire 2 fois 5 au lieu de 2 puissance 5. Le remède est de réécrire le produit en entier, une fois.
Deuxième erreur : multiplier les exposants au lieu de les ajouter. Compte les facteurs sur un petit exemple et tu verras lequel des deux est vrai.
Troisième erreur : croire qu’un exposant négatif donne un résultat négatif. Il donne un nombre plus petit que 1, jamais un nombre en dessous de zéro.
À retenir
- Un exposant compte les répétitions du facteur, il n’est pas un facteur de plus.
- Même base et produit : les exposants s’ajoutent, parce qu’on met les facteurs bout à bout.
- Avec 10, l’exposant compte les zéros.
- Un exposant négatif divise. Le résultat devient petit, il ne devient pas négatif.
Deux exercices, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Calcule : 5 puissance 4
Voir la correction
L’exposant compte les facteurs : 5 puissance 4 égale 5 multiplié 4 fois.
Le résultat est 625.
Exercice 2
Calcule, et donne le résultat en nombre : 4 puissance 3 fois 4 puissance 2
Voir la correction
On met les facteurs bout à bout : il y en a 3 plus 2 égale 5.
4 puissance 3 fois 4 puissance 2 égale 1024.
Ce que ça ouvre ensuite
- Racine carrée (4e)
- Notation scientifique (4e)
- Identités remarquables (3e)
Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Elle ne dit pas si votre enfant le sait. C'est la question à laquelle Canopée répond dans son atelier : une notion ne compte comme acquise que le jour où l'élève réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. L'atelier ouvre aujourd'hui la sixième ; le parcours de troisième arrivera avec la prépa brevet 2027. Voir comment.