Identités remarquables
Développer (a + b)² sans jamais oublier le double produit du milieu.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 2 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, la cause est souvent une notion d'avant.
- Développement et factorisation (4e)
- Puissances (4e)
Un carré de côté x + 3
parenthèse x plus 3 fermée, au carré est l’aire d’un carré de côté x + 3. Coupe chaque côté en x et 3 : le carré se découpe en quatre morceaux.
Un grand carré x², un petit carré 9, et deux rectangles hachurés de 3 sur x. Chacun vaut 3x.
Les quatre morceaux ensemble, c’est tout le carré : parenthèse x plus 3 au carré égale x au carré plus 3 x plus 3 x plus 9.
Les quatre morceaux, en calcul
Sans figure, les quatre morceaux sont les quatre produits de la double distributivité. Une grille les range comme le carré.
| × | x | 3 |
|---|---|---|
| x | x au carré | 3 x |
| 3 | 3 x | 9 |
Les deux cases du milieu sont les mêmes. Ensemble, elles font 6 x, le double produit : parenthèse x plus 3 au carré égale x au carré plus 6 x plus 9.
Le morceau que presque tout le monde oublie
Voici l’endroit où presque tout le monde se trompe : on a envie d’écrire parenthèse x plus 3 au carré égale x au carré plus 9. Vérifie avec des nombres, sur un quadrillage.
Le carré de côté 7 compte 7 au carré égale 49 carreaux. Les deux carrés n’en font que 3 au carré plus 4 au carré égale 25. Les 24 qui manquent sont les deux rectangles hachurés.
D’où vient l’envie ? D’une vraie règle, celle du produit : parenthèse 3 fois 4 au carré égale 3 au carré fois 4 au carré. Pour une somme, il faut les quatre morceaux.
Avec un moins
Pour parenthèse x moins 3 fermée, au carré, la grille est la même, avec −3 à la place de 3.
| × | x | moins 3 |
|---|---|---|
| x | x au carré | moins 3 x |
| moins 3 | moins 3 x | plus 9 |
Le double produit devient négatif : il vient de x fois −3, deux fois. Le dernier terme reste positif, parce que −3 fois −3 donne +9 : parenthèse x moins 3 au carré égale x au carré moins 6 x plus 9.
Une somme fois une différence
Pour parenthèse x plus 3 fermée, fois parenthèse x moins 3 fermée, une ligne porte +3 et l’autre −3.
| × | x | moins 3 |
|---|---|---|
| x | x au carré | moins 3 x |
| plus 3 | plus 3 x | moins 9 |
Les deux cases du milieu sont opposées : elles s’annulent. Il reste une différence de deux carrés : parenthèse x plus 3, fois parenthèse x moins 3, égale x au carré moins 9.
Elle sert au calcul mental : 53 fois 47 égale 50 au carré moins 3 au carré égale 2 491.
À retenir
- (a + b)² = a² + 2ab + b² : le double produit 2ab, ce sont les deux rectangles.
- (a − b)² = a² − 2ab + b², et (a + b)(a − b) = a² − b².
- Un doute ? Teste avec deux nombres : (3 + 4)² = 49, et 3² + 4² = 25.
Deux exercices, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Une dalle carrée est découpée en quatre morceaux. Chacun de ses côtés est coupé en deux longueurs : 13 dm et 7 dm.
Quelle est l’aire des deux rectangles hachurés ensemble, en dm² ?
Voir la correction
Chaque morceau est un rectangle : son aire est longueur fois largeur.
Chaque rectangle mesure 13 sur 7, donc 91. Les deux ensemble : 2 fois 91 égale 182. C’est le double produit.
Exercice 2
Développe parenthèse 8 x plus 3 fermée, au carré. Quel nombre est écrit devant le x ?
Voir la correction
On range les quatre produits dans la grille, comme le carré découpé.
| × | 8 x | 3 |
|---|---|---|
| 8 x | 64 x au carré | 24 x |
| 3 | 24 x | 9 |
Les deux cases du milieu font le double produit : 48 x. Tout développé : 64 x au carré plus 48 x plus 9. Le nombre devant le x est donc 48.
Ce que ça ouvre ensuite
Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Votre enfant le sait-il ? C'est la question à laquelle Canopée répond dans son atelier : une notion ne compte comme acquise que le jour où l'élève réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. L'atelier ouvre aujourd'hui la sixième ; le parcours de troisième arrivera avec la prépa brevet 2027. Voir comment.
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