Identités remarquables
Développer (a + b)² sans jamais oublier le double produit du milieu.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 2 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, c'est souvent là que ça se joue.
- Développement et factorisation (4e)
- Puissances (4e)
Ce ne sont pas des formules à part
Tu peux développer parenthèse x plus 3 fermée, au carré sans rien connaître : c’est parenthèse x plus 3 fois parenthèse x plus 3, donc quatre produits à faire.
Les identités remarquables sont le raccourci de ces quatre produits, pour les cas qui reviennent tout le temps. Elles font gagner du temps, elles n’apprennent rien de nouveau.
Les quatre produits, une fois
donne x au carré plus 3 x plus 3 x plus 9.
Les deux termes du milieu sont identiques : voilà le double produit. parenthèse x plus 3 au carré égale x au carré plus 6 x plus 9.
Voici où presque tout le monde se trompe
L’erreur est d’écrire x au carré plus 9. Elle vient d’une règle vraie, celle du produit : le carré d’un produit se distribue sur chaque facteur. Sur une somme, il ne se distribue pas.
Vérifie avec des nombres : parenthèse 3 plus 4 au carré égale 49, alors que 3 au carré plus 4 au carré égale 25. Les 24 qui manquent sont le double produit.
À retenir
- Une identité remarquable est un raccourci de quatre produits, pas une règle nouvelle.
- Le carré d’une somme garde trois termes : les deux carrés et le double produit.
- Sur une différence, le double produit est négatif, mais le dernier terme reste positif.
- En cas de doute, essaie avec deux nombres : l’écart montre le terme oublié.
Deux exercices, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Développe cette expression, puis donne le nombre écrit devant le x : parenthèse 5 x plus 8 fermée, au carré
Voir la correction
Les quatre produits donnent deux termes identiques au milieu : 5 x fois 8 plus 8 fois 5 x égale 80 x.
Le développement complet est 25 x au carré plus 80 x plus 64, donc le nombre devant le x vaut 80.
Exercice 2
Développe, puis donne le nombre écrit devant le x, signe compris : parenthèse 6 x moins 3 fermée, au carré
Voir la correction
Le double produit change de signe, parce que l’un des deux termes est négatif : moins 36 x.
Le dernier terme, lui, reste positif : un carré ne peut pas être négatif. 36 x au carré moins 36 x plus 9.
Ce que ça ouvre ensuite
Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Elle ne dit pas si votre enfant le sait. C'est la question à laquelle Canopée répond dans son atelier : une notion ne compte comme acquise que le jour où l'élève réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. L'atelier ouvre aujourd'hui la sixième ; le parcours de troisième arrivera avec la prépa brevet 2027. Voir comment.