Théorème de Thalès
Calculer une longueur avec Thalès, en écrivant les rapports dans le bon ordre.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 3 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, la cause est souvent une notion d'avant.
- Proportionnalité (6e)
- Triangles (6e)
- Angles du triangle (5e)
Deux triangles, la même forme
Deux droites se coupent en A. Deux droites parallèles, (BC) et (MN), les traversent.
Elles découpent deux triangles emboîtés, le petit ABC et le grand AMN. Ils ont les mêmes angles, donc la même forme.
MN mesure 10 cm, le double de BC. Le grand triangle est un agrandissement du petit : toutes ses longueurs sont multipliées par 2.
Un tableau de proportionnalité
Range les longueurs des deux triangles côte à côte.
| petit triangle ABC | grand triangle AMN | |
|---|---|---|
| sur la droite (AM) | AB = 6 cm | AM = 12 cm |
| sur la droite (AN) | AC = 8 cm | AN = 16 cm |
| les côtés parallèles | BC = 5 cm | MN = 10 cm |
Chaque longueur du grand triangle vaut le double de celle qui lui répond. C’est un tableau de proportionnalité.
Le théorème de Thalès l’écrit avec trois rapports égaux : AB sur AM égale AC sur AN égale BC sur MN. Ici, les trois valent 1 sur 2.
Le papillon
Les deux parallèles peuvent aussi se trouver de part et d’autre de A. La figure prend alors la forme d’un papillon.
Ce sont encore deux triangles de même forme, ABC et AMN. Le grand est retourné, de l’autre côté de A.
Le théorème ne change pas : AB sur AM égale AC sur AN égale BC sur MN.
Ranger les lettres
Écrire les rapports, c’est là que tout se joue.
En haut de chaque rapport, un côté du petit triangle, celui qui est hachuré. En bas, le côté du grand qui lui répond.
Deux points qui se répondent sont sur la même droite issue de A : B répond à M, C répond à N. Dans le papillon aussi, même si le dessin retourne le grand triangle.
Tu peux aussi mettre le grand triangle en haut partout. Ce qui compte, c’est le même sens dans chaque rapport.
Calculer une longueur
On connaît AB = 6 cm, AM = 12 cm et AC = 8 cm. On cherche AN.
| les deux rapports dans le même sens | un rapport retourné | |
|---|---|---|
| on écrit | 6 sur 12 égale 8 sur AN | 6 sur 12 égale AN sur 8 |
| on trouve | AN égale 8 fois 12 divisé par 6 égale 16 cm | AN égale 6 fois 8 divisé par 12 égale 4 cm |
| contrôle | 16 cm, plus long que AC | 4 cm, plus court que AC |
On remplace les longueurs connues dans l’égalité, puis on fait un produit en croix : AN = 16 cm.
Voici l’endroit où presque tout le monde se trompe : retourner un seul des deux rapports. On trouve alors 4 cm. Or AN est un côté du grand triangle, il dépasse forcément AC.
À retenir
- Thalès, c’est un agrandissement : toutes les longueurs sont multipliées par le même nombre.
- Chaque rapport va dans le même sens : un côté du petit triangle, puis celui qui lui répond.
- Contrôle : un côté du grand triangle est plus long que celui qui lui répond dans le petit.
Deux exercices, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Sur la figure, les droites (EF) et (GH) sont parallèles.
Quelle égalité le théorème de Thalès permet-il d’écrire ?
Voir la correction
Les deux triangles DEF et DGH ont le sommet D en commun. Le petit, DEF, est hachuré.
E et G sont sur la même droite issue de D : ils se répondent. F et H aussi.
Chaque rapport met en haut un côté du petit triangle, et en bas celui qui lui répond dans le grand.
L’égalité est donc DF sur DH égale EF sur GH.
Exercice 2
Sur la figure, les droites (EF) et (GH) sont parallèles.
On donne SE égale 3 cm, SG égale 7,5 cm et SF égale 2 cm.
Combien mesure SH, en centimètres ?
Voir la correction
Les droites (EF) et (GH) sont parallèles. Le petit triangle est SEF, le grand est SGH.
D’après le théorème de Thalès, SE sur SG égale SF sur SH.
On remplace les longueurs connues : 3 sur 7,5 égale 2 sur SH.
Produit en croix : SH égale 2 fois 7,5 divisé par 3 égale 5 cm.
Contrôle : SH est un côté du grand triangle, il dépasse bien SF = 2 cm.
Ce que ça ouvre ensuite
- Réciproque de Thalès (3e)
- Homothétie (3e)
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