Théorème de Thalès
Calculer une longueur avec Thalès, en écrivant les rapports dans le bon ordre.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 3 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, c'est souvent là que ça se joue.
- Proportionnalité (6e)
- Triangles (6e)
- Angles du triangle (5e)
C’est un tableau de proportionnalité
Deux droites se coupent en A. Deux droites parallèles les coupent aussi : la première en B et C, la seconde en M et N.
Tu as alors deux triangles emboîtés, ABC et AMN. Ils partagent le sommet A et ils ont la même forme.
Le grand est un agrandissement du petit. Toutes ses longueurs sont donc multipliées par le même nombre. C’est un tableau de proportionnalité, et tu sais le remplir depuis la quatrième.
Le théorème écrit cette proportionnalité avec des rapports : AB sur AM égale AC sur AN égale BC sur MN.
Le vrai travail : l’ordre des lettres
Le calcul n’a rien de nouveau. Ce qui se travaille ici, c’est d’écrire les rapports avec les bons points.
La règle tient en une phrase. Dans chaque rapport, le haut vient du petit triangle et le bas vient du grand, toujours dans le même ordre.
A répond à A, B répond à M, C répond à N. Tu lis ABC en haut et AMN en bas, sans jamais croiser les deux.
Voici où presque tout le monde se trompe
La première chose qui fait tomber, c’est de retourner un seul des deux rapports. Tu écris AB sur AM d’un côté, puis AN sur AC de l’autre. Les deux triangles ont échangé leur rôle en cours de route.
La longueur trouvée devient alors plus petite que celle du petit triangle, au lieu d’être plus grande.
La seconde chose est plus discrète. Tu vois de combien AM dépasse AB, et tu ajoutes cet écart à AC. Un agrandissement ne conserve pas les écarts, il conserve le rapport. Ajouter la même longueur partout déforme le triangle.
Le contrôle qui te sauve
Avant d’écrire ta réponse, regarde son ordre de grandeur.
Si le petit triangle est deux fois plus petit que le grand, alors toutes ses longueurs sont deux fois plus petites. Sans exception.
Donc si AM vaut le double de AB, AN vaut le double de AC. Une réponse qui sort de cet ordre de grandeur signale un rapport retourné, même quand les étapes sont propres.
À retenir
- Thalès, c’est de la proportionnalité : les deux triangles ont toutes leurs longueurs dans le même rapport.
- Range les lettres dans le même ordre : ABC en haut, AMN en bas, et jamais l’inverse.
- Si le grand triangle est le double du petit, chacune de ses longueurs est le double. C’est ton contrôle.
Un exercice, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Deux droites se coupent en A.
Sur la première, les points B puis M sont placés dans cet ordre à partir de A. Sur la seconde, les points C puis N sont placés dans cet ordre à partir de A.
Les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
On donne AB égale 4 cm, AM égale 8 cm et AC égale 10 cm.
Quelle est la longueur AN, en centimètres ?
Voir la correction
Les droites (BC) et (MN) sont parallèles, donc le petit triangle ABC et le grand triangle AMN ont la même forme.
Thalès donne l’égalité des rapports, lettres dans le même ordre : AB sur AM égale AC sur AN.
On passe de AB à AM en multipliant par 8 divisé par 4 égale 2.
Le même nombre agrandit toutes les longueurs, donc AN égale 10 fois 2 égale 20 cm.
Contrôle : 20 divisé par 10 égale 2, le même rapport qu’entre AM et AB.
Ce que ça ouvre ensuite
- Réciproque de Thalès (3e)
- Homothétie (3e)
Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Elle ne dit pas si votre enfant le sait. C'est la question à laquelle Canopée répond dans son atelier : une notion ne compte comme acquise que le jour où l'élève réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. L'atelier ouvre aujourd'hui la sixième ; le parcours de troisième arrivera avec la prépa brevet 2027. Voir comment.