Homothétie
Construire l’image d’une figure par une homothétie, et lire son rapport.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 3 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, la cause est souvent une notion d'avant.
- Symétrie centrale (5e)
- Translation (4e)
- Théorème de Thalès (3e)
Agrandir depuis un point
Au théâtre d’ombres, une lampe éclaire une figure découpée. Sur le mur, son ombre a la même forme, en plus grand.
Une homothétie fait ce geste depuis un point, le centre O. Il joue le rôle de la lampe : lui seul ne bouge pas.
Chaque point M a pour image un point M’ de la demi-droite [OM), avec O M prime égale k fois O M. Ici k = 2 : chaque sommet est deux fois plus loin de O, et le triangle garde sa forme.
Avec un rapport entre 0 et 1, comme 0,5, chaque point se rapproche de O : l’homothétie réduit.
Un rapport négatif
Voici l’endroit où presque tout le monde se trompe : le signe du rapport.
Avec le rapport -2, l’image passe de l’autre côté de O. Chaque point M’ est sur la droite (OM), en face de M, à 2 × OM de O.
Le signe dit le côté. La taille se lit sur le nombre sans son signe : ici, toutes les longueurs sont doublées. Une longueur n’est jamais négative.
Le rapport moins un
Avec le rapport -1, chaque point passe de l’autre côté de O, à la même distance. Tu connais cette transformation depuis la cinquième : la symétrie de centre O.
Un rapport comme -3 retourne aussi la figure, mais il triple ses longueurs. Seul le rapport -1 garde la taille.
Les longueurs, puis les aires
Les longueurs sont multipliées par le rapport sans son signe : par 2 pour le rapport -2.
Une aire compte deux longueurs, donc le 2 intervient deux fois : 2 × 2 = 4. Le petit carré couvre 1 carreau, son image en couvre 4.
Le signe disparaît dans le carré : moins 2 au carré égale 4. L’aire ne dépend pas du côté où se pose l’image.
À retenir
- Une homothétie agrandit ou réduit depuis un point, le centre. Lui seul ne bouge pas.
- Le signe du rapport dit de quel côté du centre se pose l’image. La taille se lit sans le signe.
- Les longueurs sont multipliées par le rapport sans son signe, les aires par son carré.
Deux exercices, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Le triangle E’F’G’ est l’image du triangle EFG par une homothétie de centre I.
On a mesuré EF égale 3 cm et E prime F prime égale 6 cm. Quel est le rapport de cette homothétie ?
Voir la correction
Le rapport se lit en deux temps : la taille, puis le côté.
La taille : E’F’ = 6 cm et EF = 3 cm. Les longueurs sont multipliées par 6 divisé par 3 égale 2.
Le côté : l’image est du même côté de I que le triangle de départ. Le rapport est positif.
Le rapport vaut donc 2.
Exercice 2
Le segment [AE] mesure 3 cm.
On applique l’homothétie de centre H et de rapport -4.
Elle transforme A en A’ et E en E’.
Quelle est la longueur du segment [A’E’], en cm ?
Voir la correction
Une homothétie multiplie toutes les longueurs par le rapport sans son signe. Les distances au centre aussi.
Ici, le rapport vaut -4. Sans son signe, il vaut 4.
Le signe moins ne compte pas dans la longueur. Il dit seulement que l’image est de l’autre côté de H.
Donc on trouve 3 fois 4 égale 12 cm.
On multiplie une seule fois. Multiplier deux fois, c’est pour une aire.
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