Homothétie

Construire l’image d’une figure par une homothétie, et lire son rapport.

Agrandir depuis un point

Un projecteur éclaire une diapositive et la renvoie sur un mur. La lampe reste où elle est. Recule le mur : l’image grandit. Approche-le : elle rétrécit.

Une homothétie fait exactement ce travail. Elle agrandit ou réduit une figure depuis un point, qu’on appelle le centre.

Le centre ne bouge jamais, et c’est le seul point dans ce cas. Tous les autres s’éloignent de lui ou s’en rapprochent, et toujours dans le même rapport.

Ce rapport se note k. L’image d’un point M est le point M’ posé sur la droite (OM), à une distance du centre égale à k fois O M.

Sur cette figure, le rapport vaut 2. Chaque sommet est deux fois plus loin de O qu’avant. La forme, elle, est intacte : les angles sont les mêmes, seule la taille a changé.

Voici où presque tout le monde se trompe

Voici l’endroit où presque tout le monde se trompe, et ce n’est pas un défaut d’attention. Un rapport peut être négatif. Prends une homothétie de rapport -3.

Que devient un segment de 5 cm ? La réponse spontanée est -15 cm. Personne n’a jamais mesuré -15 cm avec une règle.

Le signe du rapport ne dit pas la taille. Il dit le côté.

Avec le rapport -3, les longueurs sont multipliées par 3, et l’image se pose de l’autre côté du centre. Le segment de 5 cm devient un segment de 15 cm, en face.

Cette image retournée ressemble à une symétrie, et c’est le piège. Une symétrie garde les longueurs ; ici elles ont doublé. C’est bien une homothétie.

Le rapport moins un, c’est la symétrie centrale

Prends maintenant le rapport -1. Les longueurs sont multipliées par 1, donc aucune ne change. Et chaque point passe de l’autre côté du centre, à la même distance de lui.

Tu connais déjà cette transformation : c’est la symétrie centrale, vue en cinquième. Une homothétie de rapport -1 et une symétrie centrale de même centre font le même travail, point par point.

L’homothétie n’est donc pas une notion tombée de nulle part. Elle contient la symétrie centrale comme cas particulier.

L’inverse est faux, et c’est ce qui s’oublie. Une homothétie de rapport -3 n’est pas une symétrie : elle retourne la figure, mais elle en change aussi la taille.

Les longueurs, puis les aires

Pour une longueur, une seule règle. Elle est multipliée par la valeur absolue du rapport, c’est-à-dire par le rapport privé de son signe.

Rapport 4 ou rapport -4: dans les deux cas les longueurs sont multipliées par 4. Seul le côté du centre change.

Pour une aire, tu sais déjà. Un agrandissement de facteur k multiplie les aires par k au carré, et une homothétie est un agrandissement.

Le carré efface le signe : moins 3 au carré égale 9. Une aire ne dépend pas du côté où l’image se pose, seulement de son échelle.

Un exercice, tout de suite

Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.

Exercice 1

Le point R est à 11 cm du point H.

On applique l’homothétie de centre H et de rapport 4.

Elle transforme R en R’.

Quelle est la distance HR’, en cm ?