Proportionnalité
Reconnaître une situation de proportionnalité et compléter un tableau.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 2 autres. Si ça coince ici, c'est souvent là que ça se joue.
Le prix au kilo
Au marché, les pommes sont à 3 € le kilo. Tu prends 1 kg, tu paies 3 €. Tu prends 2 kg, tu paies 6 €. Tu prends 3 kg, tu paies 9 €.
Regarde ce qui arrive au prix quand la masse change. Si la masse double, le prix double. Si la masse triple, le prix triple. Si tu prends deux fois moins de pommes, tu paies deux fois moins.
Deux grandeurs qui se comportent ainsi sont dites proportionnelles. Il existe un prix pour un kilo, et ce prix ne change pas selon que tu achètes beaucoup ou peu : c’est lui qui relie les deux grandeurs.
Toutes les situations ne se comportent pas ainsi
C’est ici qu’il faut se méfier, et cela n’a rien à voir avec le calcul.
Prends ton âge et ta taille. À 2 ans, tu mesurais environ 85 cm. À 4 ans, tu mesurais environ 1 m.
L’âge a doublé, la taille non : tu ne mesurais pas la moitié de ta taille de 4 ans quand tu avais 2 ans. L’âge et la taille ne sont donc pas proportionnels, même si les deux augmentent ensemble.
Avant tout calcul, pose-toi cette question : si je double une grandeur, l’autre double-t-elle vraiment ? Quand la réponse est non, aucune des méthodes de cette leçon ne s’applique, et il faut chercher autrement.
Deux chemins sûrs pour trouver
Voici la situation : 4 cahiers identiques coûtent 12 €.
Premier chemin, le retour à l’unité. Tu cherches d’abord le prix d’un seul cahier : 12 divisé par 4 égale 3 €. Pour 7 cahiers, tu multiplies : 7 fois 3 égale 21 €. Ce chemin marche toujours.
Deuxième chemin, la linéarité. Tu fabriques la quantité demandée à partir de celles que tu connais déjà, sans passer par le prix d’un cahier.
En multipliant : 8 cahiers, c’est deux fois 4 cahiers, donc 2 fois 12 égale 24 €.
En additionnant : 12 cahiers, c’est 8 cahiers et 4 cahiers, donc 24 plus 12 égale 36 €. Ce chemin est rapide quand la quantité demandée se fabrique en doublant ou en additionnant ; sinon, reviens au prix d’un cahier.
Le tableau, pour voir la régularité
On range souvent les deux grandeurs dans un tableau : une ligne pour la masse de pommes, une ligne pour le prix.
| Masse en kg | 1 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|
| Prix en euros | 3 | 9 | 12 |
D’une colonne à l’autre, la linéarité se voit : quand la masse est multipliée par 3, le prix l’est aussi, et on lit 3 € puis 9 €.
Tu peux aussi additionner deux colonnes pour en fabriquer une troisième : 1 kg et 3 kg font 4 kg, et 3 € plus 9 € font 12 €. C’est exactement la linéarité additive de la section précédente, mise à plat.
Attention à ce que le tableau ne fait pas. Ranger des nombres ne rend aucune situation proportionnelle : l’âge et la taille se rangent aussi dans un tableau. La question « si je double, est-ce que l’autre double ? » reste à poser.
Les échelles, du plan au terrain
Sur le plan d’un appartement, tu lis : échelle 1/100.
Cela veut dire que 1 cm mesuré sur le plan représente 100 cm en vrai, c’est-à-dire 1 m.
Les longueurs du plan et les longueurs réelles sont proportionnelles : 2 cm sur le plan, 2 m en vrai ; 5 cm sur le plan, 5 m en vrai. Une chambre de 4 cm sur le plan mesure 4 m dans l’appartement.
C’est la même mécanique que le prix au kilo. Une seule information, ici ce que vaut un centimètre de plan, permet de retrouver toutes les autres longueurs.
À retenir
- Deux grandeurs sont proportionnelles si, quand l’une double, l’autre double aussi.
- Retour à l’unité : cherche la valeur pour 1, puis multiplie.
- Un tableau range les nombres, il ne rend pas une situation proportionnelle.
Trois exercices, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
5 carnets identiques coûtent 40 €. Combien coûtent 9 carnets ?
Voir la correction
Le prix ne dépend que du nombre d’objets : deux fois plus d’objets, deux fois plus cher.
Cherche d’abord ce que coûte un seul objet.
Une fois le prix d’un seul objet trouvé, il te reste à le multiplier par le nombre d’objets demandé.
Réponse : 72 €.
Exercice 2
4 cahiers identiques coûtent 20 €. Combien coûtent 6 cahiers ?
Voir la correction
Le prix ne dépend que du nombre d’objets : deux fois plus d’objets, deux fois plus cher.
Cherche d’abord ce que coûte un seul objet.
Une fois le prix d’un seul objet trouvé, il te reste à le multiplier par le nombre d’objets demandé.
Réponse : 30 €
Exercice 3
8 stylos identiques coûtent 80 €. Combien coûtent 5 stylos ?
Voir la correction
Le prix ne dépend que du nombre d’objets : deux fois plus d’objets, deux fois plus cher.
Cherche d’abord ce que coûte un seul objet.
Une fois le prix d’un seul objet trouvé, il te reste à le multiplier par le nombre d’objets demandé.
Réponse : 50 €
S'entraîner sur Proportionnalité
Dans l'atelier, les valeurs changent à chaque fois : il n'y a pas de fin de série à apprendre par cœur.
Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Elle ne dit pas si votre enfant le sait. C'est la question à laquelle Canopée répond : une notion ne compte comme acquise que le jour où il réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. Voir comment.