Réciproque de Thalès
Démontrer que deux droites sont parallèles en comparant deux rapports.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur une autre, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, c'est souvent là que ça se joue.
- Théorème de Thalès (3e)
Deux théorèmes qui ne servent pas à la même chose
Le théorème de Thalès part d’une information que tu possèdes déjà : les droites sont parallèles. Il te rend une longueur.
La réciproque fait le trajet inverse. Elle part des longueurs, et elle te rend le parallélisme.
Voilà pourquoi le théorème direct ne peut pas démontrer que deux droites sont parallèles. Pour l’employer, tu devrais déjà savoir qu’elles le sont.
Ce serait supposer ce que tu veux démontrer, et ton raisonnement tournerait en rond. Les calculs seraient justes, la démonstration ne prouverait rien.
Deux rapports, calculés chacun de son côté
Deux droites se coupent en A. Sur la première, B puis M. Sur la seconde, C puis N, dans le même ordre à partir de A.
Tu calcules le premier rapport tout seul : AM sur AB. Puis le second, tout seul aussi : AN sur AC.
Ensuite seulement, tu compares les deux nombres obtenus. S’ils sont égaux, les droites (BC) et (MN) sont parallèles. S’ils sont différents, elles ne le sont pas.
Voici où presque tout le monde se trompe
La chute vient de la première ligne écrite, pas du calcul.
Beaucoup commencent par poser AM sur AB égale AN sur AC. À partir de là, tout est joué : cette égalité, c’est exactement ce que tu dois tester.
L’écrire au départ revient à décider la réponse avant de calculer. Le reste du travail ne démontre plus rien, même parfaitement mené.
Alors calcule les deux rapports séparément, chacun de son côté, sans aucun signe égal entre eux. Le signe égal ne s’écrit qu’à la fin, quand les deux nombres sont sous tes yeux.
Une seconde chute, plus discrète : comparer les écarts au lieu des rapports. Regarder de combien AM dépasse AB ne dit rien du parallélisme. Ce qui se compare, c’est par combien on multiplie.
Deux rapports différents, c’est aussi une réponse
Trouver deux nombres différents n’est pas un échec de ta part. C’est une conclusion complète : les droites ne sont pas parallèles, et tu viens de le démontrer.
Une condition compte, et on l’oublie souvent. Les points doivent être alignés dans le même ordre sur les deux droites : A, B, M d’un côté, A, C, N de l’autre.
Si l’ordre change d’une droite à l’autre, l’égalité des rapports ne suffit plus à conclure.
À retenir
- Le direct donne une longueur, la réciproque donne le parallélisme. Ils ne se remplacent pas.
- Calcule les deux rapports séparément, puis compare. L’égalité ne s’écrit jamais au départ.
- Deux rapports égaux, les droites sont parallèles. Deux rapports différents, elles ne le sont pas.
Un exercice, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Deux droites se coupent en A.
Sur la première, les points B puis M sont placés dans cet ordre à partir de A. Sur la seconde, les points C puis N sont placés dans cet ordre à partir de A.
On donne AB égale 5 cm, AM égale 15 cm, AC égale 12 cm et AN égale 30 cm.
On cherche à savoir si les droites (BC) et (MN) sont parallèles. Cela se décide en comparant deux rapports.
Le premier est AM sur AB. Calcule le second, AN sur AC, et écris sa valeur en écriture décimale.
Voir la correction
Les quatre longueurs sont données. Aucune longueur n’est à chercher : c’est une égalité qui est à tester.
Premier rapport, sur la droite qui porte B et M : AM sur AB égale 15 sur 5 égale 3.
Second rapport, sur la droite qui porte C et N : AN sur AC égale 30 sur 12 égale 2,5.
Les deux nombres sont calculés chacun de son côté. On peut maintenant les comparer.
Ils sont différents, 3 d’un côté et 2,5 de l’autre, donc les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles. C’est une conclusion complète, pas un calcul manqué.
Ce que ça ouvre ensuite
Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Elle ne dit pas si votre enfant le sait. C'est la question à laquelle Canopée répond dans son atelier : une notion ne compte comme acquise que le jour où l'élève réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. L'atelier ouvre aujourd'hui la sixième ; le parcours de troisième arrivera avec la prépa brevet 2027. Voir comment.