Réciproque de Thalès
Démontrer que deux droites sont parallèles en comparant deux rapports.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur une autre, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, la cause est souvent une notion d'avant.
- Théorème de Thalès (3e)
Thalès et sa réciproque ne servent pas à la même chose
Le théorème de Thalès part d’un fait que tu connais déjà : les droites sont parallèles. Il te donne une longueur.
La réciproque fait le chemin inverse. Elle part des longueurs et te dit si les droites sont parallèles.
Le théorème de Thalès ne peut donc pas prouver que deux droites sont parallèles. Pour t’en servir, il faudrait déjà le savoir.
Tu supposerais ce que tu veux prouver, et ton raisonnement tournerait en rond. Tes calculs seraient justes, mais ne prouveraient rien.
Deux rapports, calculés chacun à part
Deux droites se coupent en A. Sur la première, en partant de A, il y a B puis M. Sur la seconde, C puis N, dans le même ordre.
Calcule d’abord le premier rapport : AM sur AB. Puis, à part, le second : AN sur AC.
Ensuite seulement, compare les deux nombres. S’ils sont égaux, les droites (BC) et (MN) sont parallèles. S’ils sont différents, elles ne le sont pas.
L’égalité écrite trop tôt
Presque tout le monde se trompe dès la première ligne, avant le moindre calcul.
Beaucoup commencent par écrire AM sur AB égale AN sur AC. Or cette égalité, c’est justement ce que tu dois vérifier.
L’écrire au début, c’est choisir la réponse avant de calculer.
Calcule donc chaque rapport à part, sans signe égal entre eux. Le signe égal ne s’écrit qu’à la fin, quand tu as les deux nombres.
Un deuxième piège : comparer les écarts au lieu des rapports. Savoir de combien AM dépasse AB ne dit rien du parallélisme. Ce qui compte, c’est par combien on multiplie AB pour obtenir AM.
Quand les deux rapports sont différents
Si tu trouves deux nombres différents, tu as fini. Les droites ne sont pas parallèles, et ton calcul le prouve.
Attention à une condition souvent oubliée. Les points doivent être dans le même ordre sur les deux droites : A, B, M d’un côté, A, C, N de l’autre.
Si l’ordre change d’une droite à l’autre, des rapports égaux ne permettent plus de conclure.
À retenir
- Thalès donne une longueur. Sa réciproque dit si deux droites sont parallèles.
- Calcule chaque rapport à part, puis compare. Le signe égal vient à la fin.
- Deux rapports égaux, les droites sont parallèles. Deux rapports différents, elles ne le sont pas.
Un exercice, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Deux droites se coupent en A.
Sur la première, on place B puis M à partir de A. Sur la seconde, on place C puis N, dans le même ordre.
On donne AB égale 5 cm, AM égale 15 cm, AC égale 12 cm et AN égale 30 cm.
Les droites (BC) et (MN) sont-elles parallèles ? Pour le savoir, on compare deux rapports.
Le premier est AM sur AB. Calcule le second, AN sur AC, et écris le résultat en nombre décimal, pas en fraction.
Voir la correction
Les quatre longueurs sont données. Il reste à vérifier une égalité.
Premier rapport, sur la droite qui porte B et M : AM sur AB égale 15 sur 5 égale 3.
Second rapport, sur la droite qui porte C et N : AN sur AC égale 30 sur 12 égale 2,5.
Les deux nombres sont calculés. On peut maintenant les comparer.
Ils sont différents, 3 d’un côté et 2,5 de l’autre, donc les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.
Ce que ça ouvre ensuite
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