Symétrie centrale

Construire le symétrique par rapport à un point, sans retomber sur un axe.

Un demi-tour autour d’un point

En sixième, tu pliais. Le symétrique d’un point par rapport à une droite, c’est ce que tu obtiens en rabattant la feuille le long de cette droite.

Cette année, tu ne plies plus : tu tournes. Le symétrique d’un point par rapport à un point, c’est ce que tu obtiens en faisant faire à la feuille un demi-tour complet autour de ce point.

Fais-le pour de vrai. Pose la pointe d’un crayon sur un point de la feuille, tiens-la bien, et fais tourner la feuille jusqu’à la remettre dans l’autre sens. Ce que tu vois à l’arrivée est le symétrique de ce que tu voyais au départ.

Le point autour duquel on tourne s’appelle le centre de la symétrie. C’est le seul point qui ne bouge pas.

Voici où presque tout le monde se trompe

Les deux mots se ressemblent, et les deux dessins aussi. Pourtant les deux gestes ne donnent pas la même image, et la différence saute aux yeux dès que la figure de départ n’est pas symétrique elle-même.

Voici un drapeau : un mât et un fanion posé en haut. On le plie d’abord, le long de la droite verticale.

Après le pli, le drapeau est en miroir. Son fanion est resté en haut, seule sa pointe a changé de côté.

Le même drapeau, maintenant, après un demi-tour autour du point K.

Après le demi-tour, le drapeau n’est pas en miroir : il est à l’envers. Son fanion est descendu en bas.

Retiens ce test. Un pli laisse quelque chose tranquille : le long d’un trait vertical, ce qui était en haut reste en haut. Un demi-tour ne laisse rien tranquille : ce qui était en haut passe en bas, et ce qui était à droite passe à gauche.

Un élève qui confond les deux applique un miroir là où il faut une rotation. Sa réponse est alors juste d’un côté et fausse de l’autre, et c’est la faute la plus difficile à repérer soi-même.

Le centre est le milieu

Le geste est clair, mais on ne fait pas tourner sa feuille pendant un contrôle. Il faut une propriété, et il n’y en a qu’une à retenir.

Le centre est le milieu du segment qui joint un point à son image.

Sur la figure, chaque point est relié à son image par un trait fin qui passe par le centre. Les deux moitiés de ce trait portent le même codage : elles ont la même longueur.

Cette propriété dit deux choses à la fois. D’abord que le point de départ, le centre et l’image sont alignés. Ensuite que le centre est à égale distance des deux.

C’est aussi ce qui permet de construire sans rien deviner : pose ta règle sur le point et sur le centre, prolonge au-delà du centre, et reporte la même longueur de l’autre côté.

Compter sans construire

Dans un repère, cette propriété devient un calcul, et tu n’as plus rien à tracer.

Le centre est le milieu, donc son abscisse est à mi-chemin des deux abscisses, et son ordonnée à mi-chemin des deux ordonnées. Les deux coordonnées se traitent séparément, avec exactement le même geste.

Tu connais le point de départ et le centre, et tu cherches l’image. Alors compte le trajet qui va du départ jusqu’au centre, puis refais ce même trajet une seconde fois au-delà du centre.

Ce trajet se compte avec une soustraction, et il peut être négatif. Cela veut simplement dire qu’on avance vers la gauche, ou vers le bas.

Un exercice, tout de suite

Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.

Exercice 1

Dans un repère, le point B a pour coordonnées 8 point-virgule 7.

Le point J a pour coordonnées moins 1 point-virgule moins 2.

Le point E est le symétrique de B par rapport au point J.

Quelle est l’ordonnée de E ?

Ce que ça ouvre ensuite

• Parallélogrammes (5e)
• Translation (4e)
• Homothétie (3e)