Symétrie centrale

Construire le symétrique par rapport à un point, sans retomber sur un axe.

Un demi-tour autour d’un point

En sixième, pour le symétrique par rapport à une droite, tu pliais la feuille le long de cette droite.

Cette année, tu tournes. Pour le symétrique par rapport à un point, tu fais faire un demi-tour à la feuille autour de ce point.

Essaie avec une vraie feuille. Plante la pointe d’un crayon sur un point. Fais tourner la feuille jusqu’à ce qu’elle soit à l’envers. Le dessin d’arrivée est le symétrique du dessin de départ.

Le point autour duquel tu tournes s’appelle le centre de la symétrie. C’est le seul point qui ne bouge pas.

Plier ou tourner : là où presque tout le monde se trompe

Plier et tourner, ça se ressemble. Pourtant les deux gestes ne donnent pas la même image. Ça se voit sur une figure sans axe de symétrie.

Prends ce drapeau : un mât, avec un fanion en haut. D’abord, on le plie le long de la droite verticale.

Après le pli, le drapeau est en miroir. Le fanion est toujours en haut. Seule sa pointe a changé de côté.

Maintenant, le même drapeau fait un demi-tour autour du point K.

Après le demi-tour, le drapeau n’est pas en miroir : il est à l’envers. Le fanion est passé en bas.

Voici le test à retenir. Avec un pli le long d’une droite verticale, le haut reste en haut. Avec un demi-tour, le haut passe en bas, et ce qui était à droite passe à gauche.

Si tu plies au lieu de tourner, ton image est à la bonne place dans un sens, mais pas dans l’autre.

Le centre est le milieu

Pendant un contrôle, tu ne fais pas tourner ta feuille. Tu utilises plutôt cette propriété :

Le centre est le milieu du segment qui joint un point à son image.

Sur la figure, un trait fin relie chaque point à son image en passant par le centre. Les deux moitiés du trait portent le même codage : elles ont la même longueur.

Cette propriété te dit deux choses. Le point, le centre et l’image sont alignés. Et le centre est à la même distance du point et de l’image.

Pour construire l’image, pose ta règle sur le point et sur le centre. Prolonge le trait au-delà du centre. Reporte la même longueur de l’autre côté.

Calculer sans tracer

Dans un repère, cette propriété devient un calcul. Tu n’as plus rien à tracer.

Comme le centre est le milieu, son abscisse est à mi-chemin des deux abscisses. Même chose pour son ordonnée. Tu traites donc une coordonnée à la fois.

Tu connais le point de départ et le centre, et tu cherches l’image. Compte le trajet du départ jusqu’au centre. Puis refais ce même trajet une deuxième fois, au-delà du centre.

Ce trajet se calcule avec une soustraction. Il peut être négatif : cela veut dire qu’on va vers la gauche, ou vers le bas.

Un exercice, tout de suite

Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.

Exercice 1

Dans un repère, le point B a pour coordonnées 8 point-virgule 7.

Le point J a pour coordonnées moins 1 point-virgule moins 2.

Le point E est le symétrique de B par rapport au point J.

Quelle est l’ordonnée de E ?

Ce que ça ouvre ensuite

• Parallélogrammes (5e)
• Translation (4e)
• Homothétie (3e)