Symétrie axiale
Construire le symétrique d’une figure, et trouver ses axes de symétrie.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur une autre. Si ça coince ici, la cause est souvent une notion d'avant.
Un axe, c’est un pli
Plie une feuille en deux. Découpe une forme dans les deux épaisseurs à la fois. Déplie : de chaque côté du pli, les deux moitiés de ta forme sont identiques. Ce pli est un axe de symétrie.
Pour tester un trait, plie le long de ce trait. C’est un axe si les deux moitiés se recouvrent exactement. Coin contre coin, sans rien qui dépasse.
Le pli et le demi-tour
Deux symétries ont presque le même nom, et presque tout le monde les confond.
La symétrie axiale se fait par rapport à une droite : c’est un pli. La symétrie centrale se fait par rapport à un point : c’est un demi-tour, comme quand tu tournes ta feuille tête en bas.
Plie le long d’un trait vertical. Le point passe de l’autre côté, mais il reste à la même hauteur. Avec un demi-tour, il change de côté et de hauteur. Pour choisir entre les deux, regarde la hauteur du point.
Les deux propriétés du pli
Prends un point M. Son image par le pli s’appelle M’. Deux choses sont toujours vraies.
D’abord, segment M M' est perpendiculaire à l’axe. Ensuite, l’axe le coupe en son milieu.
Du coup, le point et son image sont à la même distance de l’axe. Donc longueur M M' vaut deux fois cette distance.
Compter les axes sans en inventer
Un carré a quatre axes de symétrie : le pli de haut en bas, celui de gauche à droite et les deux plis en diagonale.
Un rectangle qui n’est pas un carré n’en a que deux. Plie-le le long d’une diagonale : un coin dépasse de l’autre côté. Les deux moitiés ne se recouvrent pas, donc la diagonale n’est pas un axe.
Sur un carré, le pli en diagonale marche, parce que les quatre côtés ont la même longueur. Sur un rectangle, la longueur et la largeur sont différentes : ce pli ne recouvre plus. Pour compter les axes, essaie chaque pli et regarde s’il recouvre.
À retenir
- Un axe de symétrie est un pli où les deux moitiés se recouvrent exactement.
- Le segment entre un point et son image est perpendiculaire à l’axe, qui le coupe en son milieu.
- Un rectangle a deux axes, pas quatre : ses diagonales ne sont pas des axes.
Trois exercices, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Voici un triangle isocèle qui n’est pas équilatéral.
Combien cette figure a-t-elle d’axes de symétrie ?
Voir la correction
On essaie les plis un par un. On garde ceux qui recouvrent exactement.
Un triangle n’a pas de diagonale. Plie d’un sommet jusqu’au milieu du côté d’en face, et regarde si ça recouvre. Fais-le depuis chaque sommet.
Sur ce triangle isocèle, on trouve 1 axe de symétrie.
Pour vérifier, refais chaque pli à voix haute, sans compter deux fois le même.
Exercice 2
Le point M se trouve à 3,3 cm de l’axe d. On appelle M’ son symétrique par rapport à cet axe.
Combien vaut longueur M M' ?
Voir la correction
L’axe coupe segment M M' en son milieu. Ce segment a donc deux morceaux égaux, un de chaque côté de l’axe.
Chaque morceau mesure 3,3 cm, la distance du point à l’axe. Le segment entier en compte deux : 3,3 + 3,3 = 6,6 cm.
Pour vérifier : le segment traverse l’axe, il est donc plus long que la distance à l’axe.
Exercice 3
Sur ce quadrillage, la droite d est verticale et le point O est posé dessus.
Le point M est à 2 carreaux à gauche de d et 4 carreaux plus haut que O.
Où se trouve M’, le symétrique de M par rapport à d ?
Voir la correction
On utilise les deux propriétés du pli, l’une après l’autre.
segment M M' est perpendiculaire à d. Comme d est verticale, ce segment est horizontal : M’ est donc à la même hauteur que M.
d coupe ce segment en son milieu. Comme M est à 2 carreaux de l’axe, M’ est aussi à 2 carreaux de l’axe, mais de l’autre côté.
Le point M’ est donc à 2 carreaux à droite de l’axe, et toujours 4 carreaux plus haut que O.
Un demi-tour autour de O aurait fait descendre le point : ça, c’est la symétrie centrale.
S'entraîner sur Symétrie axiale
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