Parallélogrammes

Construire un parallélogramme, et reconnaître ses propriétés dans une figure.

Un demi-tour qui ne change rien

Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles, deux par deux. Trace ses deux diagonales. Elles se croisent en un point : appelle-le O.

Pose la pointe de ton crayon sur O. Fais tourner la figure d’un demi-tour, c’est-à-dire de 180 degrés.

La figure retombe pile sur elle-même. A arrive sur C, et B arrive sur D.

On dit que O est le centre de symétrie du parallélogramme. Retiens ce demi-tour : presque tout le reste de la leçon vient de lui.

Ce que le demi-tour montre

Le demi-tour pose le côté segment A B sur le côté segment C D. Ils se superposent, donc ils ont la même longueur. Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont égaux.

Il pose aussi l’angle angle D A B de sommet A sur l’angle angle B C D de sommet C. Les deux ouvertures se superposent. Les angles opposés sont donc égaux, eux aussi.

Enfin, il échange A et C, les deux bouts de la diagonale segment A C. Le point O, lui, ne bouge pas. Il est donc à la même distance de A et de C. C’est le milieu de cette diagonale. Avec B et D, c’est pareil, donc O est aussi le milieu de l’autre.

Si tu oublies une de ces trois propriétés, refais le demi-tour dans ta tête.

Deux pièges : les angles et les diagonales

Premier piège : croire que les quatre angles sont égaux. Le demi-tour pose un angle sur celui d’en face, pas sur son voisin. Sur un parallélogramme penché, deux angles sont pointus et deux sont larges.

Deux angles voisins, comme angle D A B de sommet A et angle A B C de sommet B, suivent une autre règle. Mis bout à bout, ils font un angle plat, donc 180 degrés.

Cette règle-là ne vient pas du demi-tour. Elle vient des côtés parallèles : droite A D parallèle à droite B C, et la droite droite A B coupe ces deux parallèles.

Second piège : croire que les diagonales sont de même longueur. Elles se coupent en leur milieu, et c’est tout. Sur la figure, l’une est bien plus longue que l’autre.

Si les diagonales ont la même longueur, le parallélogramme est un rectangle. Si elles se croisent à angle droit, c’est un losange.

Ce sont des cas particuliers. Les diagonales d’un parallélogramme ne sont pas forcément égales, ni perpendiculaires.

Les propriétés, prises à l’envers

Jusqu’ici, tu savais que c’était un parallélogramme, et tu en tirais des mesures. Au brevet, on te demande souvent l’inverse. On te donne des mesures, et tu dois prouver que le quadrilatère est un parallélogramme.

Chaque propriété marche aussi à l’envers.

Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. C’est la plus rapide à rédiger, et tu la retrouveras dans les exercices.

Si les côtés opposés sont égaux deux à deux, alors c’est un parallélogramme. Si deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur, alors c’est aussi un parallélogramme.

Attention à la dernière : il faut les deux conditions, sur les deux mêmes côtés. Deux côtés parallèles ne suffisent pas. Un trapèze en a aussi, et ce n’est pas forcément un parallélogramme.

Dans un sens, tu calcules une mesure. Dans l’autre, tu prouves que c’est un parallélogramme. Un exercice de brevet demande souvent les deux.

Un exercice, tout de suite

Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.

Exercice 1

Le quadrilatère GHIJ est un parallélogramme. Ses deux diagonales se croisent au point O.

On a longueur G I = 7,8 cm et longueur H J = 6,6 cm.

Combien mesure le segment segment G O ?

Ce que ça ouvre ensuite

• Prismes et cylindres (5e)
• Translation (4e)