Parallélogrammes

Construire un parallélogramme, et reconnaître ses propriétés dans une figure.

Un demi-tour qui ne change rien

Trace un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux : c’est un parallélogramme. Trace ensuite ses deux diagonales. Elles se croisent en un point, appelle-le O.

Maintenant, pose la pointe d’un crayon sur O et fais tourner la figure d’un demi-tour, c’est-à-dire de 180 degrés.

La figure se repose exactement sur elle-même. Le sommet A arrive sur C, le sommet B arrive sur D. Aucun trait ne dépasse, aucun coin ne manque.

On dit que O est le centre de symétrie du parallélogramme. C’est la seule chose de cette leçon qui soit vraiment à retenir. Tout le reste se retrouve à partir de là, et tu vas voir comment.

Trois propriétés qui n’en font qu’une

Le demi-tour envoie le côté segment A B sur le côté segment C D. Deux segments qui se superposent ont la même longueur. Les côtés opposés d’un parallélogramme sont donc égaux.

Le même demi-tour envoie l’angle angle D A B de sommet A sur l’angle angle B C D de sommet C. Deux ouvertures qui se superposent ont la même mesure. Les angles opposés sont donc égaux eux aussi.

Il échange enfin A et C, qui sont les deux bouts de la diagonale segment A C. Le point O, lui, ne bouge pas. Il se retrouve donc à la même distance de A et de C : c’est le milieu de cette diagonale, et le milieu de l’autre pour la même raison.

Trois propriétés, un seul geste. Quand tu as un doute, refais le demi-tour dans ta tête au lieu de chercher la ligne du cours.

Voici où presque tout le monde se trompe

Premier faux pas : croire que les quatre angles sont égaux. Le demi-tour envoie un angle sur celui d’en face, pas sur son voisin. Regarde un parallélogramme penché : deux de ses angles sont pointus, les deux autres sont larges. Ils ne peuvent pas être tous pareils.

Deux angles voisins, comme angle D A B de sommet A et angle A B C de sommet B, obéissent à une autre règle : mis bout à bout, ils font un angle plat, donc 180 degrés.

Et cette règle-là ne vient pas du demi-tour, elle vient du parallélisme : droite A D parallèle à droite B C, et la droite droite A B coupe ces deux parallèles.

Second faux pas, et c’est le plus coûteux au brevet : croire que les diagonales sont de même longueur. La propriété dit qu’elles se coupent en leur milieu, et rien de plus. Rien n’oblige la première à mesurer autant que la seconde.

Quand les deux diagonales ont vraiment la même longueur, le parallélogramme devient un rectangle. Quand elles se croisent à angle droit, il devient un losange.

Ces deux phrases ne sont pas des propriétés du parallélogramme. Ce sont des conditions qui le rendent particulier, et les confondre fait perdre des points sur des questions faciles.

Les mêmes propriétés, prises à l’envers

Jusqu’ici on part du mot parallélogramme et on en tire des mesures. Dans les sujets de brevet, la question arrive presque toujours dans l’autre sens : on te donne des mesures et on te demande de prouver que le quadrilatère en est un.

Chaque propriété se retourne, et la version retournée est exactement aussi utilisable que l’autre.

Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. C’est la plus rapide à rédiger, et celle que le gabarit de cette notion interroge.

Si les côtés opposés sont égaux deux à deux, alors c’est un parallélogramme. Et si deux côtés opposés sont à la fois parallèles et de même longueur, alors c’est un parallélogramme aussi.

Attention à la dernière : elle exige les deux conditions sur le même couple de côtés. Un quadrilatère qui a seulement deux côtés parallèles est un trapèze, et un trapèze n’est pas un parallélogramme.

Le sens direct sert à calculer une mesure. Le sens réciproque sert à conclure. Ce sont les deux moitiés du même outil, et un sujet de brevet se sert souvent des deux dans le même exercice.

Un exercice, tout de suite

Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.

Exercice 1

Le quadrilatère GHIJ est un parallélogramme. Ses deux diagonales se croisent au point O.

On a longueur G I = 7,8 cm et longueur H J = 6,6 cm.

Combien mesure le segment segment G O?

Ce que ça ouvre ensuite

• Prismes et cylindres (5e)
• Translation (4e)