Volume de la boule
Calculer le volume d’une boule, et ne pas confondre son rayon et son diamètre.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 3 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, la cause est souvent une notion d'avant.
- Volumes (6e)
- Volume de la pyramide et du cône (4e)
- Prismes et cylindres (5e)
La boule dans sa boîte
Une boule de rayon r tient tout juste dans une boîte cubique. L’arête de la boîte, c’est le diamètre de la boule : 2 × r.
La boîte a pour volume 2 r fois 2 r fois 2 r égale 8 fois r fois r fois r. La boule en remplit un peu plus de la moitié : les huit coins restent vides.
Le volume de la boule vaut 4 sur 3 fois pi fois r fois r fois r. C’est un peu plus de 4 fois r × r × r, donc un peu plus de la moitié de la boîte.
Cette formule ne se démontre pas au collège : Archimède l’a trouvée il y a plus de deux mille ans. Tu l’apprends, et la boîte te sert à vérifier.
Le volume en valeur exacte
On garde π tel quel. Le volume s’écrit alors un nombre fois π : c’est la valeur exacte.
| Rayon | r × r × r | Volume exact |
|---|---|---|
| 3 cm | 27 | 36 pi cm³ |
| 5 cm | 125 | 500 sur 3 pi cm³ |
| 6 cm | 216 | 288 pi cm³ |
Pour un rayon de 3 cm : 4 fois 27 sur 3 égale 36. Le volume vaut 36 pi cm³.
Pour un rayon de 5 cm : 4 fois 125 sur 3 égale 500 sur 3. La division ne tombe pas juste : tu gardes la fraction.
Rayon ou diamètre, c’est là que presque tout le monde se trompe
Les énoncés donnent souvent le diamètre, parce que c’est lui qu’on mesure sur un ballon. La formule, elle, utilise le rayon.
Un cercle, la coupe de la boule par son centre, dont on tire le bord pour changer le rayon. Le rayon est tracé du centre au bord, et sous la figure s’écrivent le rayon puis le diamètre, égal à deux fois le rayon.
Tire le bord : le diamètre vaut toujours deux rayons. Avant la formule, écris le rayon sur une ligne à part.
Avec le diamètre à la place du rayon, le volume est 8 fois trop grand : le rayon apparaît trois fois dans le calcul, et 2 fois 2 fois 2 égale 8.
Si le rayon double, le volume est multiplié par 8
Compare deux boules, l’une de 3 cm de rayon, l’autre de 6 cm.
| Rayon | Volume exact |
|---|---|
| 3 cm | 36 pi cm³ |
| 6 cm | 288 pi cm³ |
Le rayon a doublé, et le volume a été multiplié par 8 : 36 fois 8 égale 288. Chacun des trois facteurs r a doublé.
C’est pour ça qu’un ballon deux fois plus large contient huit fois plus d’air.
La peau de la boule : l’aire de la sphère
La sphère, c’est la peau de la boule. Son aire se compte en cm², le volume de la boule en cm³.
| Ce qu’on mesure | Formule | Unité |
|---|---|---|
| L’aire de la sphère, la peau | 4 fois pi fois r fois r | cm² |
| Le volume de la boule, l’intérieur | 4 sur 3 fois pi fois r fois r fois r | cm³ |
Le petit 2 de cm² dit : deux longueurs multipliées. Le petit 3 de cm³ dit : trois. Lis l’unité demandée avant de choisir ta formule.
À retenir
- Volume de la boule : 4 sur 3 fois pi fois r fois r fois r. Aire de la sphère : 4 fois pi fois r fois r.
- Un volume en cm³ multiplie trois longueurs. Une aire en cm² en multiplie deux.
- Le rayon est la moitié du diamètre. Si le rayon double, le volume est multiplié par 8.
Deux exercices, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Une orange a un rayon de 36 mm.
Son volume s’écrit n fois pi mm³. Donne la valeur exacte de n, en fraction si le calcul ne tombe pas juste.
Voir la correction
On cherche un volume, en mm³ : c’est la formule où le rayon apparaît trois fois, 4 sur 3 fois pi fois r fois r fois r.
D’abord 36 fois 36 fois 36 égale 46656. Puis les quatre tiers : 4 fois 46656 sur 3 égale 62208.
Le volume vaut 62208 pi mm³. Le nombre demandé est 62208.
Contrôle avec la boîte : elle fait 8 fois 46656 égale 373248 mm³, et la boule en remplit un peu plus de la moitié.
Exercice 2
Une boule de glace a un diamètre de 66 mm.
Son volume s’écrit n fois pi mm³. Donne la valeur exacte de n, en fraction si le calcul ne tombe pas juste.
Voir la correction
On cherche un volume, en mm³ : c’est la formule où le rayon apparaît trois fois.
L’énoncé donne le diamètre. Le rayon en est la moitié : 66 divisé par 2 égale 33 mm.
Ensuite 33 fois 33 fois 33 égale 35937, puis les quatre tiers : 4 fois 35937 sur 3 égale 47916.
Le volume vaut 47916 pi mm³. Le nombre demandé est 47916.
Avec 66 à la place du rayon, tu trouverais 383328 : huit fois trop, car le rayon apparaît trois fois.
Ce que ça ouvre ensuite
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