Volume de la boule
Calculer le volume d’une boule, et ne pas confondre son rayon et son diamètre.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 3 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, c'est souvent là que ça se joue.
- Volumes (6e)
- Volume de la pyramide et du cône (4e)
- Prismes et cylindres (5e)
Deux formules qu’on ne peut pas retrouver
Jusqu’ici, chaque formule de grandeur pouvait se reconstruire. L’aire d’un rectangle compte des carrés posés côte à côte. Le volume d’un prisme, c’est sa base empilée sur toute sa hauteur.
Les deux formules de la boule ne marchent pas comme ça. Aire de la sphère : 4 fois pi fois r fois r. Volume de la boule : 4 sur 3 fois pi fois r fois r fois r.
D’où sortent ce 4 et ces quatre tiers ? Archimède les a trouvés il y a plus de deux mille ans, par un raisonnement qui ne s’écrit pas avec les outils du collège. Personne ne peut te les faire redécouvrir en classe. Ce sont les seules formules du programme dans ce cas, et autant te le dire franchement.
Alors tu les apprends. Et tu gardes sous la main un moyen de vérifier que tu n’as pas pris l’une pour l’autre.
L’unité tranche entre les deux
Deux mots, deux objets. La sphère, c’est la peau. La boule, c’est la peau et tout ce qu’il y a dedans. Une aire mesure la peau, un volume mesure l’intérieur.
Une aire se compte en cm². Le petit deux compte les longueurs multipliées : deux longueurs, donc un carré dans la formule.
Un volume se compte en cm³. Trois longueurs multipliées, donc un cube dans la formule.
Tu n’as plus deux formules à départager de mémoire. Tu lis l’unité demandée. Des cm³ réclament r fois r fois r, des cm² s’arrêtent à r fois r.
Voici où presque tout le monde se trompe
Les énoncés donnent presque toujours le diamètre : c’est ce qui se mesure sur un ballon. La formule, elle, travaille avec le rayon.
Un élève qui garde le diamètre ne se trompe pas d’un peu. Son résultat est huit fois trop grand.
Regarde pourquoi. Le rayon apparaît trois fois dans le calcul. Le doubler double chacun des trois facteurs : 2 fois 2 fois 2 égale 8.
Une boule de 20 cm de rayon contient donc huit fois plus qu’une boule de 10 cm de rayon. Pas deux fois. C’est contre-intuitif, et ça tombe au brevet.
Le réflexe qui supprime la confusion : écris le rayon à part, en clair, avant d’écrire la formule.
Vérifier son résultat sans refaire le calcul
Une boule de rayon r tient tout juste dans un cube d’arête 2 fois r, dont le volume vaut 8 fois r fois r fois r.
La boule occupe un peu plus de la moitié de ce cube : elle en laisse les huit coins vides.
Autrement dit, le nombre qui multiplie pi vaut un tiers de plus que r fois r fois r. S’il tombe en dessous, ou s’il dépasse le double, quelque chose s’est perdu en route.
À retenir
- Volume de la boule : 4 sur 3 fois pi fois r fois r fois r. Aire de la sphère : 4 fois pi fois r fois r.
- Des cm³ réclament trois longueurs multipliées, donc un cube. Des cm² s’arrêtent à deux, donc un carré.
- Le rayon est la moitié du diamètre. Rayon doublé : volume multiplié par 8, pas par 2.
Un exercice, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Un ballon en mousse a un diamètre de 30 cm.
Son volume s’écrit n fois pi cm³. Donne le nombre n, sans remplacer pi par une valeur approchée.
Voir la correction
La réponse est un volume, en cm³. Trois longueurs entrent dans le calcul, donc la formule porte un cube.
La formule travaille avec le rayon, et l’énoncé donne le diamètre. Rayon : 30 divisé par 2 égale 15 cm.
Le rayon multiplié trois fois donne 15 fois 15 fois 15 égale 3375, puis on en prend les quatre tiers : 4 fois 3375 sur 3 égale 4500.
Le nombre demandé est 4500, et le volume vaut 4500 pi cm³.
Avec 30 à la place de 15, tu aurais trouvé 36000: huit fois trop, parce que le rayon apparaît trois fois et que 2 fois 2 fois 2 égale 8.
Ce que ça ouvre ensuite
Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Elle ne dit pas si votre enfant le sait. C'est la question à laquelle Canopée répond dans son atelier : une notion ne compte comme acquise que le jour où l'élève réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. L'atelier ouvre aujourd'hui la sixième ; le parcours de troisième arrivera avec la prépa brevet 2027. Voir comment.