Volume de la pyramide et du cône
Calculer le volume d’une pyramide ou d’un cône, sans oublier le tiers.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 2 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, c'est souvent là que ça se joue.
Le tiers, et d’où il vient
Une pyramide ne monte pas toute droite : elle se referme vers un sommet. Elle tient donc moins qu’une boîte droite de même base et de même hauteur.
Combien de fois moins ? Trois fois exactement. Remplis une pyramide de sable, puis vide-la dans cette boîte droite : il faut la vider trois fois pour la remplir.
Le volume d’une pyramide est donc l’aire de sa base multipliée par sa hauteur, puis divisée par 3.
Le cône suit la même règle, sa base étant un disque. Tu calcules l’aire de ce disque, tu multiplies par la hauteur, tu divises par 3.
Une unité de volume compte trois longueurs
Prends un cube de 1 dm de côté. Un décimètre vaut 10 cm, donc ce même cube mesure 10 cm sur 10 cm sur 10 cm.
Compte les petits cubes de 1 cm de côté qu’il contient : 10 fois 10 fois 10 égale 1000. Un décimètre cube contient 1000 centimètres cubes.
Le côté a été multiplié par 10, et le volume par 1000. Trois longueurs se multiplient dans un volume, alors le facteur 10 sert trois fois.
La règle tient à tous les étages : 1 m³ contient 1000 dm³, et 1 cm³ contient 1000 mm³.
Le litre est un décimètre cube
Le litre n’est pas une unité à part. C’est le volume d’un cube de 1 dm de côté, celui du paragraphe précédent. On écrit 1 L = 1 dm³.
Ce cube contient 1000 cm³, donc un litre contient 1000 cm³. Et un millilitre vaut 1 cm³ : les doses de sirop se comptent en mL pour cette raison.
Pour passer des centimètres cubes aux litres, divise par 1000.
Voici où presque tout le monde se trompe
Passer des centimètres aux décimètres divise une longueur par 10. Beaucoup d’élèves gardent ce 10 pour les volumes et divisent 2000 cm³ par 10.
Ils annoncent alors 200 dm³ là où il y a 2 dm³. L’écart est de cent fois, et la copie reste propre : rien dans le nombre écrit ne prévient.
Voici le contrôle à faire passer à chaque conversion. Quand tu passes à une unité dix fois plus petite, ton nombre devient mille fois plus grand.
Dans l’autre sens, vers une unité dix fois plus grande, ton nombre devient mille fois plus petit. Compte les zéros : il en arrive trois à chaque cran.
À retenir
- Pyramide et cône : l’aire de la base multipliée par la hauteur, puis divisée par 3.
- Une unité dix fois plus petite, et le nombre devient mille fois plus grand.
- 1 L = 1 dm³ = 1000 cm³, et 1 mL = 1 cm³.
Un exercice, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Un pot de fleurs a la forme d’une pyramide posée sur sa pointe. Son ouverture est un carré de 40 cm de côté. De cette ouverture jusqu’à la pointe, il mesure 27 cm.
Combien de litres de terreau contient-il, rempli à ras bord ?
Voir la correction
L’aire de l’ouverture carrée vient en premier : 40 fois 40 égale 1600 cm².
Une boîte droite de même ouverture et de même profondeur contiendrait 1600 fois 27 égale 43200 cm³. La pyramide en contient le tiers : 43200 divisé par 3 égale 14400 cm³.
Un litre est un décimètre cube, donc mille centimètres cubes : 14400 divisé par 1000 égale 14,4 L.
Contrôle : le litre est mille fois plus gros que le centimètre cube, donc le nombre devient mille fois plus petit en passant de 14400 à 14,4.
Ce que ça ouvre ensuite
- Volume de la boule (3e)
Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Elle ne dit pas si votre enfant le sait. C'est la question à laquelle Canopée répond dans son atelier : une notion ne compte comme acquise que le jour où l'élève réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. L'atelier ouvre aujourd'hui la sixième ; le parcours de troisième arrivera avec la prépa brevet 2027. Voir comment.