Médiane et étendue
Trouver la médiane d’une série, et dire ce que la moyenne ne dit pas.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 3 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, la cause est souvent une notion d'avant.
- Tableaux et diagrammes (5e)
- Moyenne pondérée (4e)
- Comparer et ranger (6e)
Pourquoi la moyenne ne suffit pas
Dans une petite entreprise, neuf personnes gagnent 1500 € par mois. Une dixième gagne 30 000 €.
Une droite graduée de 0 à 30 000 euros. Neuf salaires sont posés sur 1500, un seul sur 30 000. Une flèche marque la moyenne, 4350 euros : entre les deux, là où personne ne se trouve.
La moyenne vaut 4350 €. Sur la droite, la flèche tombe là où personne ne se trouve : le gros salaire a tiré la moyenne vers le haut.
La médiane vaut 1500 €, ce que gagnent neuf personnes sur dix. Une valeur extrême ne la fait pas bouger.
Ranger, puis prendre le milieu
Voici les notes de sept élèves, dans l’ordre où elles ont été relevées : 12, 7, 15, 9, 18, 11, 14.
Une droite graduée de 0 à 20. Les sept notes y sont placées : 7, 9, 11, 12, 14, 15 et 18. Une flèche marque 12, la note du milieu : trois notes à sa gauche, trois à sa droite.
Posées sur la droite, les notes se rangent toutes seules. Celle du milieu est 12 : trois notes en dessous, trois au-dessus.
C’est la médiane : elle coupe la série rangée en deux moitiés qui ont autant de valeurs.
Oublier de ranger
Oublier de ranger la série, c’est là que presque tout le monde se trompe.
| Position | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Telle qu’écrite | 12 | 7 | 15 | 9 | 18 | 11 | 14 |
| Rangée | 7 | 9 | 11 | 12 | 14 | 15 | 18 |
Au milieu de la liste écrite, on trouve 9. Mais 9 n’a qu’une note en dessous de lui, et cinq au-dessus. Sur la série rangée, le milieu est 12.
Avant de répondre, recopie la série rangée sur ta copie. C’est elle qui prouve ta médiane.
Avec un nombre pair de valeurs
Voici six temps de course, en secondes, déjà rangés. Six valeurs : aucune n’est pile au milieu.
| Rang | 1 | 2 | 3 (milieu) | 4 (milieu) | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Temps (s) | 38 | 41 | 43 | 47 | 50 | 52 |
Une droite graduée de 35 à 55 secondes. Les six temps y sont placés : 38, 41, 43, 47, 50 et 52. Une flèche marque 45, à mi-chemin entre 43 et 47 : trois temps à sa gauche, trois à sa droite.
Les deux valeurs du milieu, 43 et 47, se partagent le milieu. La médiane est leur moyenne : 43 plus 47, divisé par 2, égale 45. Elle tombe sur un temps que personne n’a fait.
L’étendue : l’écart entre les extrêmes
L’étendue, c’est la plus grande valeur moins la plus petite. Reprends les sept notes.
La même droite graduée de 0 à 20. Seules la plus petite note, 7, et la plus grande, 18, sont écrites : l’étendue est la longueur qui les sépare.
La plus petite note est 7, la plus grande 18. L’étendue vaut 18 moins 7 égale 11.
L’étendue dit si les valeurs sont serrées ou très écartées. Pour savoir où est le milieu, c’est la médiane qu’il faut.
À retenir
- Range d’abord la série. La médiane la coupe en deux : autant de valeurs de chaque côté.
- Avec un nombre pair de valeurs, la médiane est la moyenne des deux valeurs du milieu.
- L’étendue est la plus grande valeur moins la plus petite. Une valeur extrême tire la moyenne.
Deux exercices, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Voici le nombre de pages lues en une semaine par 8 élèves : 107, 134, 12, 69, 52, 25, 116, 108.
Quelle est l’étendue de cette série ?
Voir la correction
On cherche la plus grande valeur et la plus petite. La série rangée les met aux deux bouts.
| Rang | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Pages | 12 | 25 | 52 | 69 | 107 | 108 | 116 | 134 |
La plus grande est 134, la plus petite 12. L’étendue vaut 134 moins 12 égale 122.
Exercice 2
Voici le nombre de pages lues en une semaine par 5 élèves : 44, 23, 70, 32, 16.
Quelle est la médiane de cette série ?
Voir la correction
On range d’abord la série, de la plus petite valeur à la plus grande.
| Rang | 1 | 2 | 3 (milieu) | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Pages | 16 | 23 | 32 | 44 | 70 |
Il y a cinq valeurs : la médiane est la troisième, avec deux valeurs avant elle et deux après. C’est 32.
Ce que ça ouvre ensuite
- Comparer deux séries (3e)
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