Démontrer par le calcul
Prouver qu’un programme de calcul donne le même résultat pour tout nombre.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 2 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, c'est souvent là que ça se joue.
L’exercice pose deux questions, pas une
Un programme de calcul est une suite d’instructions. Tu choisis un nombre, tu suis les lignes dans l’ordre, tu obtiens un résultat.
La première question te fait tourner le programme sur un nombre imposé. C’est du calcul, rien de plus.
La seconde te demande de prouver que le résultat est le même quel que soit le nombre choisi. Aucun essai sur un nombre précis ne répondra à celle-là, et c’est tout le sujet de cette leçon.
Fais-le tourner deux fois, pour voir
Prends un nombre, suis les lignes, note le résultat. Recommence avec un autre nombre.
Si les deux résultats sont égaux, tu sais désormais ce que tu dois démontrer. C’est une piste, pas une preuve : tu l’as appris en cinquième, mille exemples réussis ne prouvent rien.
Appelle x le nombre choisi
La démonstration tient en trois gestes. Un : appelle x le nombre choisi. Deux : écris chaque ligne en fonction de x, l’une sous l’autre. Trois : développe et réduis.
Sur le programme « ajoute 5, multiplie par 2, enlève le double du nombre choisi », tu écris successivement x plus 5, puis 2 facteur de x plus 5, puis 2 facteur de x plus 5, moins 2 x.
Tu développes comme en quatrième : 2 x plus 10 moins 2 x égale 10.
Le x a disparu. Le résultat ne dépend plus du nombre choisi, donc il vaut 10 pour tous. Cette disparition EST la preuve, et c’est la phrase à écrire à la fin.
Parfois le x ne disparaît pas et tu obtiens 2 x. Ce n’est pas raté : le programme donne alors toujours le double du nombre choisi, et c’était justement ce qu’on te demandait de prouver.
Voici où presque tout le monde se trompe
L’erreur n’est pas dans le calcul, elle est dans ce qu’on croit avoir prouvé. Trois nombres essayés, trois fois le même résultat, et on écrit « donc c’est toujours vrai ». Il manque la lettre, donc il manque la preuve.
La seconde erreur est plus discrète : enchaîner les étapes avec des signes égal, comme x plus 5 égale 2 facteur de x plus 5 égale 2 x plus 10 moins 2 x.
Ces expressions ne sont pas égales entre elles : chacune est le résultat d’une ligne différente. Écris une ligne par étape, les unes sous les autres, et garde le signe égal pour le développement final.
À retenir
- Appelle x le nombre choisi, puis écris chaque ligne du programme en fonction de x.
- Développe et réduis : si le x disparaît, le résultat est le même pour tout nombre choisi.
- Des essais qui tombent juste ne prouvent rien. Seule la lettre prouve.
Un exercice, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Voici un programme de calcul.
Choisis un nombre.
Ajoute 8.
Multiplie le résultat par 4.
Enlève le quadruple du nombre choisi.
Fais tourner ce programme avec le nombre 10 et donne le résultat obtenu.
Voir la correction
Ligne après ligne, en partant de 10:
10 plus 8 égale 18, puis 18 fois 4 égale 72.
Le quadruple du nombre choisi vaut 4 fois 10 égale 40, donc la dernière ligne donne 72 moins 40 égale 32.
Reprends le programme avec un autre nombre : tu retombes sur 32. La question suivante te demandera de prouver que c’est vrai pour tous les nombres, et pour ça il faudra la lettre x.
Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Elle ne dit pas si votre enfant le sait. C'est la question à laquelle Canopée répond dans son atelier : une notion ne compte comme acquise que le jour où l'élève réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. L'atelier ouvre aujourd'hui la sixième ; le parcours de troisième arrivera avec la prépa brevet 2027. Voir comment.