Démontrer par le calcul
Prouver qu’un programme de calcul donne le même résultat pour tout nombre.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 2 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, la cause est souvent une notion d'avant.
Un programme, deux questions
Voici un programme de calcul, comme au brevet.
| Programme |
|---|
| Choisis un nombre. |
| Ajoute 5. |
| Multiplie le résultat par 2. |
| Enlève le double du nombre choisi. |
La première question te donne le nombre de départ : tu suis les lignes et tu calcules.
La seconde te demande de prouver que le résultat est toujours le même, quel que soit le nombre. Pour celle-là, calculer avec des nombres ne suffira pas.
Des essais ne prouvent rien
Fais tourner ce programme avec 3, avec 7, avec −2 : tu trouves 10 chaque fois. Ces essais te disent ce qu’il faudra démontrer.
Pour le démontrer, il faut autre chose, parce que des essais peuvent tromper. Regarde cette expression :
| Nombre choisi | x fois parenthèse x moins 1 fois parenthèse x moins 2, plus 10 |
|---|---|
| 0 | 10 |
| 1 | 10 |
| 2 | 10 |
| 3 | 16 |
Trois essais donnent 10, le quatrième donne 16. Et il y a une infinité de nombres : tu ne pourras jamais tous les essayer.
Appelle x le nombre choisi
La preuve suit le programme ligne par ligne, avec une lettre à la place du nombre. On appelle x le nombre choisi.
| Ligne du programme | Avec 3 | Avec x |
|---|---|---|
| Choisis un nombre. | 3 | x |
| Ajoute 5. | 3 plus 5 égale 8 | x plus 5 |
| Multiplie le résultat par 2. | 8 fois 2 égale 16 | 2 fois parenthèse x plus 5 fermée |
| Enlève le double du nombre choisi. | 16 moins 6 égale 10 | 2 fois parenthèse x plus 5 fermée, moins 2 x |
Chaque case de la colonne x fait le même geste que sa voisine. Quand une ligne multiplie « le résultat », elle multiplie tout ce que tu avais : les parenthèses le disent.
Développe, réduis : ce qui reste
Il reste à calculer l’expression de la dernière ligne, comme en quatrième.
| Étape | Ce qu’on écrit |
|---|---|
| L’expression | 2 fois parenthèse x plus 5 fermée, moins 2 x |
| Développer | 2 x plus 10 moins 2 x |
| Réduire | 10 |
Le x a disparu : le nombre choisi n’a plus aucune influence. Tu peux conclure : le résultat vaut 10, quel que soit le nombre choisi.
Parfois le x reste. S’il reste 2x, le programme donne toujours le double du nombre choisi : une autre phrase à prouver, avec la même méthode.
La rédaction, c’est là que presque tout le monde se trompe
Deux rédactions du même exercice. Une seule est une preuve.
| Léo écrit | Lina écrit |
|---|---|
| Avec 3, je trouve 10. | Soit x le nombre choisi. Le programme donne 2 fois parenthèse x plus 5 fermée, moins 2 x. |
| Avec 7 et avec −2 aussi. | 2 fois parenthèse x plus 5 fermée, moins 2 x, égale 2 x plus 10 moins 2 x, égale 10 |
| Donc le résultat vaut toujours 10. | Donc le résultat vaut 10 pour tout nombre choisi. |
Léo a vérifié trois cas. Lina a traité tous les nombres d’un coup, grâce à x.
Autre chose à surveiller, plus discrète : relier les lignes par des signes égal, comme x plus 5 égale 2 fois parenthèse x plus 5 fermée. Ces deux expressions ne sont pas égales : chacune est le résultat d’une ligne différente. Garde le signe égal pour le calcul.
À retenir
- Appelle x le nombre choisi, puis écris chaque ligne du programme avec x.
- Développe et réduis : si le x disparaît, le résultat est le même pour tout nombre choisi.
- Des essais qui marchent ne prouvent rien : la preuve se fait avec x.
Deux exercices, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Voici un programme de calcul.
| Programme |
|---|
| Choisis un nombre. |
| Ajoute 11. |
| Multiplie le résultat par 4. |
| Enlève le quadruple du nombre choisi. |
Fais tourner ce programme avec le nombre 10. Quel résultat obtiens-tu ?
Voir la correction
On écrit le nombre obtenu après chaque ligne.
| Ligne du programme | Avec 10 |
|---|---|
| Choisis un nombre. | 10 |
| Ajoute 11. | 10 plus 11 égale 21 |
| Multiplie le résultat par 4. | 21 fois 4 égale 84 |
| Enlève le quadruple du nombre choisi. | 84 moins 40 égale 44 |
Avec un autre nombre, tu retombes sur 44. Pour prouver que c’est vrai pour tous les nombres, il faut la lettre x.
Exercice 2
Voici un programme de calcul.
| Programme |
|---|
| Choisis un nombre. |
| Enlève 3. |
| Multiplie le résultat par 2. |
| Ajoute le double du nombre choisi. |
On appelle x le nombre choisi. Quelle expression donne le résultat du programme ?
Voir la correction
On traduit chaque ligne avec x, dans l’ordre.
| Ligne du programme | Avec x |
|---|---|
| Choisis un nombre. | x |
| Enlève 3. | x moins 3 |
| Multiplie le résultat par 2. | 2 fois parenthèse x moins 3 fermée |
| Ajoute le double du nombre choisi. | 2 fois parenthèse x moins 3 fermée, plus 2 x |
La multiplication porte sur tout le résultat : il lui faut ses parenthèses. La dernière ligne parle du nombre choisi, donc de x.
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