Factoriser par les identités
Reconnaitre une identité dans une expression, et la transformer en produit.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 2 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, la cause est souvent une notion d'avant.
Factoriser, c’est défaire un développement
Regarde 12 x plus 18 comme l’aire de deux rectangles collés, de même hauteur 6.
Développer, c’est calculer l’aire morceau par morceau. Factoriser, c’est retrouver les deux côtés du grand rectangle : 12 x plus 18 égale 6 fois parenthèse 2 x plus 3 fermée.
À quoi ça sert ? Un produit vaut zéro dès qu’un de ses facteurs vaut zéro : c’est comme ça qu’on résout les équations produit.
Le plus grand facteur commun
Cherche en deux temps. D’abord dans les nombres : leur plus grand diviseur commun. Ensuite dans les lettres : un x dans chaque terme ?
| Nombre | Ses diviseurs |
|---|---|
| 12 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 |
| 18 | 1, 2, 3, 6, 9, 18 |
| En commun | 1, 2, 3, 6 : le plus grand est 6 |
Sortir 2 donne 2 fois parenthèse 6 x plus 9 fermée : c’est juste, mais pas fini. Dans la parenthèse, 6 et 9 ont encore 3 en commun. Quand tu as fini, les nombres de la parenthèse n’ont plus de diviseur commun, à part 1.
Un terme qui part en entier laisse un 1
Dans x au carré plus x, chaque terme contient x. Le second terme est x tout entier.
La bande hachurée a pour largeur 1 : x, c’est x fois 1. Donc x au carré plus x égale x fois parenthèse x plus 1 fermée. Sans ce 1, la parenthèse perd un morceau.
Le facteur commun peut aussi être une parenthèse entière : parenthèse x plus 2, fois parenthèse 3 x moins 1, plus parenthèse x plus 2, égale parenthèse x plus 2, fois parenthèse 3 x moins 1 plus 1. Là encore, le 1 reste.
Reconnaître un carré
Parfois, aucun facteur n’est commun à tous les termes. Regarde x au carré plus 6 x plus 9 comme des morceaux à recoller.
Un carré x², deux rectangles 3x, un carré 9 : recollés, ils forment le carré de côté x + 3. Donc x au carré plus 6 x plus 9 égale parenthèse x plus 3 au carré.
Le signe qui ne trompe pas : le terme du milieu vaut le double produit. Sans les deux rectangles, x au carré plus 9 ne forme pas un carré.
La différence de deux carrés, c’est là que presque tout le monde se trompe
Pour x au carré moins 9, on a envie d’écrire un carré, parenthèse x moins 3 au carré. Or ce carré vaut x au carré moins 6 x plus 9.
Sur le quadrillage : 25 carreaux moins 4, il en reste 21, en L. Découpe la bande du haut et recolle-la au bout : un rectangle de 7 sur 3. Donc 5 au carré moins 2 au carré égale parenthèse 5 moins 2, fois parenthèse 5 plus 2.
Avec x, c’est la même chose : x au carré moins 9 égale parenthèse x moins 3, fois parenthèse x plus 3.
À retenir
- Factoriser, c’est écrire une somme en produit : ka + kb = k(a + b).
- Sors le plus grand facteur commun ; un terme sorti en entier laisse un 1.
- Reconnais les identités : a² + 2ab + b² = (a + b)², et a² − b² = (a − b)(a + b).
Deux exercices, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Factorise cette expression, puis écris le nombre que tu as sorti devant la parenthèse : 126 plus 112 x.
Voir la correction
Les deux nombres sont 112 et 126. Leur plus grand diviseur commun est 14.
126 plus 112 x égale 14 fois parenthèse 9 plus 8 x fermée. Dans la parenthèse, 8 et 9 n’ont plus de diviseur commun : la factorisation est finie.
Exercice 2
Factorise 9 plus 36 y plus 36 y au carré. Quelle est sa forme factorisée ?
Voir la correction
Trois termes : deux carrés, et au milieu le double produit. C’est un carré développé.
Donc 9 plus 36 y plus 36 y au carré égale parenthèse 6 y plus 3 fermée, au carré.
Ce que ça ouvre ensuite
- Équations produit (3e)
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