Factoriser par les identités
Reconnaitre une identité dans une expression, et la transformer en produit.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 2 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, c'est souvent là que ça se joue.
À quoi ça sert, avant la méthode
Une expression factorisée s’annule dès qu’un de ses facteurs s’annule. C’est le seul moyen de résoudre une équation où le x apparaît plusieurs fois.
Factoriser n’est pas l’inverse décoratif de développer : c’est ce qui permet de résoudre.
Chercher en deux passes, jamais d’un coup
Développer est une procédure : on applique, et ça sort. Factoriser demande de reconnaître quelque chose qui n’est pas écrit. Il n’y a pas d’algorithme, il y a un geste de recherche.
Regarde d’abord les NOMBRES : quel est leur plus grand diviseur commun ? Regarde ensuite les LETTRES : y a-t-il un x dans tous les termes ?
Sur 12 x plus 18, les nombres 12 et 18 ont 6 en commun, et il n’y a pas de x partout. On sort donc 6 : 6 facteur de 2 x plus 3.
Voici où presque tout le monde se trompe
La première erreur est de sortir un diviseur commun, mais pas le plus grand. 12 x plus 18 égale 2 facteur de 6 x plus 9 est vrai, et pourtant la factorisation n’est pas finie : 6 et 9 ont encore 3 en commun.
Contrôle : dans la parenthèse, les nombres qui restent ne doivent plus avoir aucun diviseur commun.
La seconde est d’oublier le 1. Quand un terme est entièrement consommé par le facteur, il laisse un 1 derrière lui, jamais rien.
À retenir
- Une expression factorisée s’annule dès qu’un facteur s’annule. C’est ce qui sert à résoudre.
- Cherche en deux passes : les nombres d’abord, les lettres ensuite.
- Sors le PLUS GRAND facteur commun : après, les nombres restants ne partagent plus rien.
- Un terme entièrement consommé laisse un 1 dans la parenthèse, pas un vide.
Un exercice, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Factorise cette expression, puis donne le nombre que tu as sorti devant la parenthèse : 12 x plus 32
Voir la correction
Les deux nombres sont 12 et 32. Leur plus grand diviseur commun est 4.
12 x plus 32 égale 4 facteur de 3 x plus 8. Dans la parenthèse, 3 et 8 n’ont plus rien en commun : la factorisation est finie.
Ce que ça ouvre ensuite
- Équations produit (3e)
Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Elle ne dit pas si votre enfant le sait. C'est la question à laquelle Canopée répond dans son atelier : une notion ne compte comme acquise que le jour où l'élève réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. L'atelier ouvre aujourd'hui la sixième ; le parcours de troisième arrivera avec la prépa brevet 2027. Voir comment.