Diviseurs et PGCD

Lister les diviseurs d’un entier, et trouver le plus grand commun à deux nombres.

Avant celle-ci

Cette notion s'appuie sur 2 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, la cause est souvent une notion d'avant.

Division euclidienne (6e)
Nombres entiers (6e)

Le plus grand carreau

Tu veux couvrir le dessus d’une table de 60 cm sur 36 cm avec des carreaux carrés, tous pareils, sans en couper aucun.

Le côté du carreau doit tomber juste dans 60 et dans 36 : c’est un diviseur commun de 60 et de 36.

Pour des carreaux les plus grands possible, on prend le plus grand diviseur commun, le PGCD. Ici, 12 cm : 5 carreaux dans la longueur, 3 dans la largeur.

Lister les diviseurs

Un tableau de deux colonnes. 60 s’écrit 1 fois 60, 2 fois 30, 3 fois 20, 4 fois 15, 5 fois 12 et 6 fois 10. 36 s’écrit 1 fois 36, 2 fois 18, 3 fois 12, 4 fois 9 et 6 fois 6.
60 en paires	36 en paires
1 × 60	1 × 36
2 × 30	2 × 18
3 × 20	3 × 12
4 × 15	4 × 9
5 × 12	6 × 6
6 × 10

Les diviseurs vont par paires. On les écrit dans l’ordre, et on s’arrête quand les deux nombres de la paire se rejoignent.

Les diviseurs communs à 60 et 36 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Le plus grand est 12 : c’est leur PGCD.

L’algorithme d’Euclide

Le tableau de l’algorithme d’Euclide pour 60 et 36, une ligne par division. 60 égale 1 fois 36 plus 24, reste 24. 36 égale 1 fois 24 plus 12, reste 12. 24 égale 2 fois 12 plus 0, reste 0.
On divise	par	Division	Reste
60	36	60 égale 1 fois 36 plus 24	24
36	24	36 égale 1 fois 24 plus 12	12
24	12	24 égale 2 fois 12 plus 0	0

Pour de grands nombres, la liste devient longue. Euclide divise le plus grand par le plus petit, et garde le reste.

Il recommence avec le plus petit et ce reste. Dans 60 égale 1 fois 36 plus 24, le nombre qui continue le calcul est le reste, 24.

Il s’arrête sur un reste nul. Le dernier reste non nul, 12, est le PGCD.

Pourquoi ça marche

Taille dans la table le plus grand carré possible : 36 sur 36. Il reste une bande de 24 sur 36.

Recommence dans ce qui reste : un carré de 24, et il reste 24 sur 12. Puis deux carrés de 12, et il ne reste rien.

Chaque carré taillé est une ligne de l’algorithme. Le dernier mesure 12 : un carreau de cette taille couvre tous les autres morceaux.

Un diviseur commun ne suffit pas

Un tableau de deux lignes. Avec 6 : 60 divisé par 6 donne 10, 36 divisé par 6 donne 6, et 10 et 6 ont encore le diviseur commun 2. Avec 12, en gras : 60 divisé par 12 donne 5, 36 divisé par 12 donne 3, et 5 et 3 n’ont plus de diviseur commun, sauf 1.
Diviseur essayé	Il reste	Encore un diviseur commun ?
6	10 et 6	oui, 2
12	5 et 3	non, sauf 1

Voici l’endroit où presque tout le monde se trompe : prendre le premier diviseur commun trouvé pour le plus grand.

6 divise 60 et 36. Mais après division, il reste 10 et 6, qui sont encore tous les deux pairs.

Le test : divise les deux nombres par ton diviseur. S’il leur reste un diviseur commun autre que 1, il en existe un plus grand.

À retenir

Le PGCD de deux nombres est le plus grand nombre qui les divise tous les deux.
Euclide : divise, garde le reste, recommence. Le dernier reste non nul est le PGCD.
Après division par le PGCD, les deux quotients n’ont plus de diviseur commun, sauf 1.

Deux exercices, tout de suite

Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.

Exercice 1

Écris la liste de tous les diviseurs de 124, du plus petit au plus grand.

Combien en comptes-tu ?

Voir la correction

On cherche les produits qui donnent 124, en partant de 1 × 124.

Le tableau des paires de 124. 1 fois 124 donne 1 et 124. 2 fois 62 donne 2 et 62. 4 fois 31 donne 4 et 31.
Paire	Diviseurs
1 × 124	1 et 124
2 × 62	2 et 62
4 × 31	4 et 31

Les diviseurs de 124 sont 1, 2, 4, 31, 62 et 124.

124 a donc 6 diviseurs.

Exercice 2

Quel est le PGCD de 44 et 33, leur plus grand diviseur commun ?

Voir la correction

On applique l’algorithme d’Euclide : on divise, on garde le reste, on recommence.

Le tableau de l’algorithme d’Euclide pour 44 et 33, une ligne par division. 44 égale 1 fois 33 plus 11, reste 11. 33 égale 3 fois 11 plus 0, reste 0.
On divise	par	Division	Reste
44	33	44 égale 1 fois 33 plus 11	11
33	11	33 égale 3 fois 11 plus 0	0

Le dernier reste non nul est 11 : c’est le PGCD.

On vérifie : 44 divisé par 11 égale 4 et 33 divisé par 11 égale 3, et ces deux nombres n’ont plus de diviseur commun, sauf 1.

Ce que ça ouvre ensuite

Nombres premiers (3e)
Calcul avec les racines (3e)

Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Votre enfant le sait-il ? C'est la question à laquelle Canopée répond dans son atelier : une notion ne compte comme acquise que le jour où l'élève réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. L'atelier ouvre aujourd'hui la sixième ; le parcours de troisième arrivera avec la prépa brevet 2027. Voir comment.

Votre enfant prépare le brevet ? Le diagnostic gratuit le situe en vingt minutes sur trois exercices d'un vrai sujet, sans compte ni adresse e-mail.