Diviseurs et PGCD
Lister les diviseurs d’un entier, et trouver le plus grand commun à deux nombres.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 2 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, c'est souvent là que ça se joue.
- Division euclidienne (6e)
- Nombres entiers (6e)
Ce qu’il résout, et qui te manquait
Simplifier une fraction par étapes marche toujours, et ne te dit jamais si tu as fini. Tu divises par 2, encore par 2, par 3, et tu t’arrêtes quand tu ne trouves plus rien. Mais as-tu bien cherché ?
Le PGCD règle ça : tu divises UNE fois, et c’est terminé par construction. C’est la seule raison pour laquelle cette notion est au programme.
La méthode qui marche toujours
Lister tous les diviseurs des deux nombres marche sur de petits nombres, et devient impraticable au-delà de 100.
L’algorithme d’Euclide tient en une ligne, répétée : remplace le plus grand nombre par le RESTE de sa division par l’autre. Recommence jusqu’à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD.
Pour 30 et 12 : 30 égale 2 fois 12 plus 6, puis 12 égale 2 fois 6 plus 0. Le PGCD est 6.
Pourquoi ça marche, sans démonstration
Si un nombre divise à la fois 30 et 12, il divise aussi leur différence, 18. Et aussi 6, et ainsi de suite.
Chercher les diviseurs communs de deux nombres revient donc à les chercher sur des nombres de plus en plus petits. C’est exactement ce que fait l’algorithme, et c’est pour ça qu’il termine.
Voici où presque tout le monde se trompe
La première erreur est de trouver UN diviseur commun et de le prendre pour le plus grand. Le contrôle est simple : après avoir divisé les deux nombres par ton résultat, il ne doit plus rester aucun diviseur commun.
La seconde est de poursuivre l’algorithme avec le quotient au lieu du reste. Dans 30 égale 2 fois 12 plus 6, c’est le 6 qu’on garde, pas le 2.
À retenir
- Le PGCD donne le critère d’arrêt que la simplification par étapes n’a pas.
- Algorithme d’Euclide : remplace le plus grand par le reste, jusqu’à un reste nul.
- Le PGCD est le dernier reste NON NUL, pas le dernier quotient.
- Après division par le PGCD, les deux nombres n’ont plus aucun diviseur commun.
Un exercice, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Quel est le plus grand diviseur commun de 88 et 80?
Voir la correction
On applique l’algorithme d’Euclide : 88 égale 1 fois 80 plus 8.
On continue avec le reste, jusqu’à tomber sur zéro. Le dernier reste non nul est 8.
Contrôle : 88 divisé par 8 égale 11 et 80 divisé par 8 égale 10, et ces deux nombres n’ont plus aucun diviseur commun.
Ce que ça ouvre ensuite
- Nombres premiers (3e)
- Calcul avec les racines (3e)
Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Elle ne dit pas si votre enfant le sait. C'est la question à laquelle Canopée répond dans son atelier : une notion ne compte comme acquise que le jour où l'élève réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. L'atelier ouvre aujourd'hui la sixième ; le parcours de troisième arrivera avec la prépa brevet 2027. Voir comment.