Division euclidienne

Trouver le quotient et le reste, et savoir ce que chacun représente.

Des sachets pleins, et ce qui reste sur la table

Tu as 47 billes et des sachets de 6 billes. Tu remplis les sachets un par un.

Au septième sachet, tu as rangé 42 billes. Il en reste 5 sur la table : pas assez pour un huitième sachet.

Ce partage donne deux nombres, qui ne répondent pas à la même question. Le quotient vaut 7 : c’est le nombre de sachets complets. Le reste vaut 5 : ce sont les billes qui n’ont pas trouvé de place.

Le mot quotient vient du latin quoties, qui veut dire « combien de fois ». C’est sa question : combien de fois 6 tient-il dans 47 ?

À toi : change le nombre d’objets, change ce que tient un paquet, et regarde les deux nombres bouger ensemble.

Des objets que l’on range en paquets égaux. Un curseur donne le nombre d’objets, un autre donne combien il en tient dans un paquet. Les paquets complets se remplissent, ce qui ne rentre pas reste dans une boîte hachurée à côté, et l’égalité dividende égale diviseur fois quotient plus reste s’écrit en dessous et se met à jour.

Poser la division

En sixième, tu divises un nombre entier par un nombre entier plus petit que 100. Le geste est toujours le même : chercher combien de fois le diviseur tient dans le dividende, sans le dépasser.

La division de 47 par 6 posée, le dividende à gauche et le diviseur à droite.

On essaie : 6 × 7 = 42, ça tient dans 47. Puis 6 × 8 = 48, ça dépasse. Le quotient est donc 7.

Il reste 47 − 42 = 5 : ce sont les billes restées sur la table.

Une égalité pour tout vérifier

Les deux nombres trouvés tiennent dans une seule égalité : 47 égale 6 multiplié par 7, plus 5.

Elle refait le partage à l’envers : 7 sachets de 6, plus 5 billes, redonnent 47 billes. C’est ainsi qu’on vérifie une division.

Une règle va avec : le reste est toujours plus petit que le diviseur.

Pourquoi ? S’il restait 6 billes ou plus, tu pourrais remplir un sachet de plus. Le partage ne serait pas fini. Un reste de 8 avec des sachets de 6 veut dire qu’on s’est arrêté trop tôt.

Quotient ou reste : relire la question

Choisir entre le quotient et le reste : c’est là que presque tout le monde se trompe.

Les deux nombres sortent du même calcul, en même temps. Rien dans le calcul ne dit lequel on te demande.

Si tu réponds 5 alors qu’on demande le quotient, ta division est juste. C’est le rôle de chaque nombre qui n’est pas encore clair.

Pour choisir, redis la question avec les billes. « Combien de sachets pleins ? » : c’est le quotient. « Combien de billes sur la table ? » : c’est le reste.

Trois exercices, tout de suite

Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.

Exercice 1

Dans la division euclidienne de 43 par 5, quel est le quotient ?

Exercice 2

Dans la division euclidienne de 30 par 4, quel est le reste ?

Exercice 3

Dans la division euclidienne de 79 par 4, quel est le reste ?

S'entraîner sur Division euclidienne

Dans l'atelier, les valeurs changent à chaque fois : il n'y a pas de fin de série à apprendre par cœur.

Ce que ça ouvre ensuite

• Division décimale
• Fractions simples