Division euclidienne
Trouver le quotient et le reste, et savoir ce que chacun représente.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur une autre. Si ça coince ici, c'est souvent là que ça se joue.
Des sachets pleins, et ce qui reste sur la table
Tu as 47 billes et des sachets qui contiennent 6 billes chacun. Tu remplis les sachets un par un.
Au septième sachet, tu as rangé 42 billes. Il t’en reste 5 sur la table : pas assez pour un huitième sachet.
Ce partage donne deux nombres, et ils ne répondent pas à la même question. Le quotient vaut 7 : c’est le nombre de sachets complets. Le reste vaut 5 : ce sont les billes qui n’ont pas pu être rangées.
Le mot quotient vient du latin quoties, « combien de fois ». C’est littéralement la question qu’il pose : combien de fois 6 tient-il dans 47 ?
Fais-le toi-même avec moins d’objets : change le nombre à partager, change ce que tient un sachet, et regarde les deux nombres bouger ensemble.
Des objets que l’on range en paquets égaux. Un curseur donne le nombre d’objets, un autre donne combien il en tient dans un paquet. Les paquets complets se remplissent, ce qui ne rentre pas reste dans une boîte hachurée à côté, et l’égalité dividende égale diviseur fois quotient plus reste s’écrit en dessous et se met à jour.
Poser la division
En sixième, on pose la division d’un nombre entier par un nombre entier plus petit que 100. Le geste est toujours le même : chercher combien de fois le diviseur entre dans le dividende sans le dépasser.
La division de 47 par 6 posée, le dividende à gauche et le diviseur à droite.
On essaie : 6 × 7 = 42, ce qui tient dans 47 ; 6 × 8 = 48, ce qui dépasse. Le quotient est donc 7.
Il reste ensuite 47 − 42 = 5, le nombre de billes restées sur la table.
L’égalité qui tient tout
Les deux nombres trouvés se rangent dans une seule égalité : 47 égale 6 multiplié par 7, plus 5.
Elle se lit dans les deux sens : le dividende est fait des sachets pleins et de ce qui reste. C’est aussi la meilleure vérification, parce qu’elle refait le partage à l’envers.
Une règle vient avec elle : le reste est toujours plus petit que le diviseur.
La raison tient en une phrase : s’il restait 6 billes ou plus, on pourrait encore remplir un sachet, donc le partage ne serait pas terminé. Un reste de 8 avec des sachets de 6 signale un arrêt trop tôt, jamais un calcul faux.
Quotient ou reste : relire la question
Voici l’endroit où presque tout le monde se trompe, et ce n’est pas une question d’attention.
Le quotient et le reste sortent du même calcul, en même temps. Une fois la division posée, les deux nombres sont sous les yeux, et rien dans le calcul ne dit lequel des deux on demande.
Répondre 5 quand la question porte sur le quotient n’est donc pas une erreur de division : c’est le rôle des deux nombres qui n’est pas encore fixé.
Le geste qui protège : redis la question avec les billes. « Combien de sachets pleins ? » c’est le quotient. « Combien de billes restent sur la table ? » c’est le reste.
À retenir
- Le quotient compte les paquets complets, le reste compte ce qui n’y entre pas.
- dividende = diviseur × quotient + reste, avec un reste plus petit que le diviseur.
- Avant de répondre, relis la question : quotient ou reste ?
Trois exercices, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Dans la division euclidienne de 43 par 5, quel est le quotient ?
Voir la correction
Cherche combien de fois 5 entre dans 43 sans le dépasser.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur. S’il est plus grand ou égal, c’est qu’il reste encore un partage à faire.
Multiplie 5 par le nombre de fois que tu as trouvé, puis compare ce produit au nombre de départ.
Réponse : 8.
Exercice 2
Dans la division euclidienne de 30 par 4, quel est le reste ?
Voir la correction
Cherche combien de fois 4 entre dans 30 sans le dépasser.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur. S’il est plus grand ou égal, c’est qu’il reste encore un partage à faire.
Multiplie 4 par le nombre de fois que tu as trouvé, puis compare ce produit au nombre de départ.
Réponse : 2
Exercice 3
Dans la division euclidienne de 79 par 4, quel est le reste ?
Voir la correction
Cherche combien de fois 4 entre dans 79 sans le dépasser.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur. S’il est plus grand ou égal, c’est qu’il reste encore un partage à faire.
Multiplie 4 par le nombre de fois que tu as trouvé, puis compare ce produit au nombre de départ.
Réponse : 3
S'entraîner sur Division euclidienne
Dans l'atelier, les valeurs changent à chaque fois : il n'y a pas de fin de série à apprendre par cœur.
Ce que ça ouvre ensuite
Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Elle ne dit pas si votre enfant le sait. C'est la question à laquelle Canopée répond : une notion ne compte comme acquise que le jour où il réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. Voir comment.