Nombres premiers

Décomposer un entier en facteurs premiers, et savoir pourquoi 1 n’en est pas un.

Avant celle-ci

Cette notion s'appuie sur une autre, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, la cause est souvent une notion d'avant.

Diviseurs et PGCD (3e)

Exactement deux diviseurs

Un tableau des nombres de 1 à 12, avec leurs diviseurs et combien ils en ont. 1 en a un seul. 2, 3, 5, 7 et 11 en ont exactement deux, écrits en gras. 4 et 9 en ont trois, 6, 8 et 10 en ont quatre, 12 en a six.
Nombre	Ses diviseurs	Combien
1	1	1
2	1, 2	2
3	1, 3	2
4	1, 2, 4	3
5	1, 5	2
6	1, 2, 3, 6	4
7	1, 7	2
8	1, 2, 4, 8	4
9	1, 3, 9	3
10	1, 2, 5, 10	4
11	1, 11	2
12	1, 2, 3, 4, 6, 12	6

Regarde la dernière colonne. Certains nombres ont exactement 2 diviseurs : 1 et eux-mêmes.

On les appelle les nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, et bien d’autres après.

1 n’a qu’un seul diviseur, lui-même. Il lui en manque un : 1 n’est pas premier.

Tester un nombre sans tout essayer

Un tableau des essais pour 97. Avec 2, 3, 5 et 7, la division ne tombe pas juste. Avec 11, dont le carré vaut 121, on s’arrête : 121 dépasse 97.
Diviseur	Son carré	97 tombe juste ?
2	4	non, 97 est impair
3	9	non, 9 + 7 = 16
5	25	non
7	49	non, 7 × 14 = 98
11	121	121 dépasse 97 : stop

Pour savoir si un nombre est premier, essaie de le diviser par 2, 3, 5, 7, et ainsi de suite.

Arrête-toi dès que le carré du diviseur dépasse le nombre. Un diviseur plus grand irait avec un plus petit, déjà essayé.

Pour 97, aucune division ne tombe juste, et 11 × 11 = 121 dépasse 97. Donc 97 est premier.

Impair ne veut pas dire premier

Le crible des nombres de 1 à 50, dizaine par dizaine. Les nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 et 47. Les impairs qui ne sont pas premiers : 1, 9, 15, 21, 25, 27, 33, 35, 39, 45 et 49.
De	Premiers	Impairs non premiers
1-10	2, 3, 5, 7	1, 9
11-20	11, 13, 17, 19	15
21-30	23, 29	21, 25, 27
31-40	31, 37	33, 35, 39
41-50	41, 43, 47	45, 49

Voici l’endroit où presque tout le monde se trompe : croire qu’un nombre impair est premier.

Les premiers qu’on rencontre, 3, 5 et 7, sont impairs. Mais regarde la dernière colonne : 9, 15, 21, 25, 27… sont impairs sans être premiers.

9 = 3 × 3, 21 = 3 × 7, 91 = 7 × 13. Être impair écarte seulement le diviseur 2.

Décomposer en facteurs premiers

Un nombre qui n’est pas premier se casse en produit. On casse encore chaque morceau, jusqu’à n’avoir que des nombres premiers, entourés sur l’arbre.

60 = 6 × 10 = 2 × 3 × 2 × 5. On range les facteurs et on regroupe : 60 égale 2 au carré fois 3 fois 5.

Commence par 4 × 15 ou par 2 × 30 : tu retombes sur les mêmes nombres premiers. La décomposition est unique.

Simplifier sans chercher

Un tableau. 84 égale 2 fois 2 fois 3 fois 7. 126 égale 2 fois 3 fois 3 fois 7. En commun, en gras : 2 fois 3 fois 7, qui vaut 42.
Nombre	Décomposition
84	2 × 2 × 3 × 7
126	2 × 3 × 3 × 7
En commun	2 × 3 × 7 = 42

Pour simplifier 84 sur 126, décompose le haut et le bas.

Ce qu’ils ont en commun se lit directement : 2, 3 et 7. On divise le haut et le bas par 2 × 3 × 7 = 42 : 84 sur 126 égale 2 sur 3.

À retenir

Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Donc 1 n’est pas premier.
Pour tester un nombre, divise par 2, 3, 5, 7… jusqu’à ce que le carré du diviseur le dépasse.
Tout entier se décompose en produit de nombres premiers, et d’une seule façon.

Deux exercices, tout de suite

Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.

Exercice 1

Voici trois nombres : 109, 133 et 141.

Un seul est premier : lequel ?

Voir la correction

109 ne se divise ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7, et 11 × 11 = 121 dépasse 109 : on peut s’arrêter. 109 est premier.

133 égale 7 fois 19 : 133 n’est pas premier.

141 égale 3 fois 47 : 141 n’est pas premier.

Exercice 2

Voici trois écritures : 3 × 5² × 11, puis 5 × 11 × 15, puis 3 × 5 × 11.

Laquelle est la décomposition de 825 en produit de facteurs premiers ?

Voir la correction

On casse 825 jusqu’aux nombres premiers :

Les nombres entourés donnent la décomposition : 825 égale 3 fois 5 au carré fois 11.

5 × 11 × 15 garde 15, qui n’est pas premier : 15 = 3 × 5.

3 × 5 × 11 ne vaut que 165 : il manque un facteur.

Ce que ça ouvre ensuite

Fractions irréductibles (3e)

Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Votre enfant le sait-il ? C'est la question à laquelle Canopée répond dans son atelier : une notion ne compte comme acquise que le jour où l'élève réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. L'atelier ouvre aujourd'hui la sixième ; le parcours de troisième arrivera avec la prépa brevet 2027. Voir comment.

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