Nombres premiers
Décomposer un entier en facteurs premiers, et savoir pourquoi 1 n’en est pas un.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur une autre, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, c'est souvent là que ça se joue.
- Diviseurs et PGCD (3e)
À quoi ça sert, avant la définition
Décomposer deux nombres en facteurs premiers fait apparaître ce qu’ils partagent, sans avoir à le deviner. La simplification d’une fraction cesse d’être une chasse au diviseur.
C’est la seule raison pour laquelle cette notion est au programme. Vue comme une curiosité, elle ne sert à rien.
La définition qui règle le cas de 1
Un nombre premier a exactement DEUX diviseurs : 1 et lui-même.
Compter les diviseurs plutôt que dire « seulement 1 et lui-même » règle tout de suite le cas de 1 : 1 n’a qu’un seul diviseur, donc il n’est pas premier.
Comment vérifier sans tout essayer
Tu n’as pas besoin d’essayer tous les nombres. Teste 2, puis 3, puis 5, puis 7, et arrête-toi dès que le carré du diviseur dépasse le nombre.
Pour 91 : 2 ne marche pas, 3 non plus, 5 non plus, et 7 marche. 91 égale 7 fois 13, donc 91 n’est pas premier, alors qu’il en a l’air.
Voici où presque tout le monde se trompe
Les premiers exemples que tu vois, 3, 5, 7, 11, sont tous impairs. On en conclut vite qu’impair veut dire premier. C’est faux : 9 égale 3 fois 3 et 9 est impair.
À retenir
- Un nombre premier a exactement deux diviseurs. Donc 1 n’est pas premier.
- Impair ne veut pas dire premier : 9, 15, 21 sont impairs et ne sont pas premiers.
- Pour tester, essaie 2, 3, 5, 7, et arrête-toi quand le carré du diviseur dépasse le nombre.
- La décomposition sert à simplifier les fractions sans chercher au hasard.
Un exercice, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
81 est-il un nombre premier ? Réponds 1 pour oui, 0 pour non.
Voir la correction
En essayant les diviseurs dans l’ordre, on tombe sur 3: 81 égale 3 fois 27.
81 a donc plus de deux diviseurs : il n’est pas premier.
Ce que ça ouvre ensuite
Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Elle ne dit pas si votre enfant le sait. C'est la question à laquelle Canopée répond dans son atelier : une notion ne compte comme acquise que le jour où l'élève réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. L'atelier ouvre aujourd'hui la sixième ; le parcours de troisième arrivera avec la prépa brevet 2027. Voir comment.