Prouver avec des lettres
Démontrer une égalité pour tout nombre, ou la casser d'un contre-exemple.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 2 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, c'est souvent là que ça se joue.
Trois exemples ne prouvent rien, et c’est nouveau
Jusqu’ici, vérifier sur trois nombres suffisait à convaincre la classe. Ici, non. Une égalité peut être vraie sur mille nombres et fausse sur le mille et unième.
C’est un renversement complet de ce qu’on attendait de toi, et il faut le savoir pour ne pas le vivre comme une exigence arbitraire.
Prouver coûte cher, réfuter ne coûte rien
Pour PROUVER qu’une égalité vaut pour tout nombre, il faut la lettre : elle représente n’importe quel nombre à la fois.
Pour MONTRER qu’elle est fausse, UN SEUL contre-exemple suffit, et c’est fini. Tu n’as rien d’autre à écrire.
Cette dissymétrie te donne une méthode : commence toujours par essayer de casser l’égalité. Si elle résiste, alors démontre.
Bien choisir ses nombres d’essai
Tester 1, 2 et 3 ne sert presque à rien : ce sont les cas les plus favorables.
Essaie 0, essaie un négatif, essaie un nombre à virgule. C’est là que les égalités fausses se cassent, et c’est là que personne ne regarde.
Voici où presque tout le monde se trompe
L’erreur est de conclure « c’est vrai » après trois essais réussis. Ce n’est pas de la paresse : c’est exactement ce qui a toujours suffi jusqu’à cette année.
Le mot juste à écrire dans ce cas est « ça a l’air vrai », et il faut ensuite démontrer.
À retenir
- Un nombre quelconque d’exemples ne prouve jamais qu’une égalité est vraie pour tous.
- Un seul contre-exemple suffit à prouver qu’elle est fausse.
- Commence par essayer de casser l’égalité, puis démontre seulement si elle résiste.
- Teste 0, un négatif et un nombre à virgule : c’est là que ça casse.
Un exercice, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Un élève affirme que pour tout nombre x, on a parenthèse x plus 8 fermée au carré égale x au carré plus 64.
Teste avec x égale 8 et donne la valeur du membre de GAUCHE.
Voir la correction
À gauche : parenthèse 8 plus 8 au carré égale 16 au carré égale 256.
À droite : 8 au carré plus 64 égale 128.
Les deux membres ne donnent pas le même nombre, donc l’égalité est FAUSSE. Un seul essai a suffi pour le prouver.
Ce que ça ouvre ensuite
Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Elle ne dit pas si votre enfant le sait. C'est la question à laquelle Canopée répond dans son atelier : une notion ne compte comme acquise que le jour où l'élève réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. L'atelier ouvre aujourd'hui la sixième ; le parcours de troisième arrivera avec la prépa brevet 2027. Voir comment.