Prouver avec des lettres
Démontrer une égalité pour tout nombre, ou la casser d'un contre-exemple.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 2 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, la cause est souvent une notion d'avant.
Trois exemples ne prouvent rien
Jusqu’ici, tu vérifiais une égalité sur trois nombres, et ça suffisait. Avec les lettres, ça ne suffit plus.
Une égalité peut marcher pour mille nombres et pas pour le mille et unième.
Prouver ou casser une égalité
Pour prouver qu’une égalité marche pour tous les nombres, on prend une lettre. La lettre x remplace n’importe quel nombre, tous à la fois.
Pour montrer qu’elle est fausse, un seul nombre qui la casse suffit. Ce nombre s’appelle un contre-exemple. Tu n’as rien d’autre à écrire.
Alors commence toujours par essayer de casser l’égalité avec quelques nombres. Si elle tient bon, cherche la preuve avec la lettre.
Bien choisir ses nombres pour tester
Tester 1, 2 et 3 ne sert presque à rien. Avec eux, une égalité fausse peut avoir l’air de marcher.
Essaie plutôt 0, un nombre négatif et un nombre à virgule. C’est souvent avec eux qu’une égalité fausse se casse.
Après trois essais réussis
Conclure « c’est vrai » après trois essais réussis, c’est là que presque tout le monde se trompe.
Écris plutôt « ça a l’air vrai ». Puis cherche la preuve avec la lettre.
À retenir
- Même mille exemples ne prouvent pas qu’une égalité marche pour tous les nombres.
- Un seul contre-exemple prouve qu’elle est fausse.
- Essaie d’abord de la casser. Si elle tient bon, prouve-la avec la lettre.
- Pour tester, prends 0, un nombre négatif et un nombre à virgule.
Un exercice, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Un élève affirme que pour tout nombre x, on a parenthèse x plus 8 fermée au carré égale x au carré plus 64.
Teste avec x égale 8 et calcule le membre de gauche.
Voir la correction
À gauche : parenthèse 8 plus 8 au carré égale 16 au carré égale 256.
À droite : 8 au carré plus 64 égale 128.
Les deux membres ne donnent pas le même nombre. Ce seul essai prouve que l’égalité est fausse.
Ce que ça ouvre ensuite
Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Votre enfant le sait-il ? C'est la question à laquelle Canopée répond dans son atelier : une notion ne compte comme acquise que le jour où l'élève réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. L'atelier ouvre aujourd'hui la sixième ; le parcours de troisième arrivera avec la prépa brevet 2027. Voir comment.
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