Canopée Toutes les notions de cinquième

Probabilités

Lister les issues d'une expérience au hasard, et chiffrer une chance en équiprobabilité.

Avant celle-ci

Cette notion s'appuie sur 2 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, c'est souvent là que ça se joue.

Une expérience au hasard, et la liste de ce qui peut arriver

Une expérience au hasard est une expérience dont tu ne peux pas annoncer le résultat à l’avance. Lancer un dé, tirer un jeton dans un sac, faire tourner une roue.

Chaque résultat possible s’appelle une issue. Pour un dé à six faces, les issues sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Il y en a six, et il n’y en a pas d’autres.

Le premier travail de cette leçon tient en une phrase : écrire la liste de toutes les issues. Toutes, et chacune une seule fois.

Cette liste n’est pas un brouillon qu’on jette après. C’est elle qui donne le nombre écrit sous le trait de fraction, et donc le résultat.

Voici où presque tout le monde se trompe

L’endroit qui fait tomber n’est pas la fraction. C’est la liste, et cela arrive à des élèves qui calculent très bien.

Premier cas. Un sac contient des jetons numérotés de 7 à 18. Beaucoup écrivent 18 moins 7 égale 11 jetons. Il y en a 12.

La soustraction compte les écarts entre le premier jeton et le dernier, pas les jetons. Sur une main, entre le pouce et l’auriculaire, il y a quatre écarts et cinq doigts. Il y a toujours un objet de plus que d’écarts.

Deuxième cas. La liste est écrite en désordre, et un résultat y figure deux fois. Le total gagne alors une unité qui n’existe pas. C’est l’erreur des listes écrites au fur et à mesure, sans ordre.

La parade est la même dans les deux cas : écris la liste dans l’ordre, du plus petit au plus grand, puis compte ce que tu as écrit. Compter la liste, jamais la deviner.

Quand toutes les issues se valent

Dans un sac, si les jetons ont la même taille et la même matière, aucun n’est plus facile à attraper qu’un autre. Toutes les issues ont alors la même chance de sortir.

On dit que les issues sont équiprobables. C’est la seule situation où l’on calcule une probabilité en comptant.

Le calcul demande alors deux nombres, et les deux sortent de ta liste. Au-dessus du trait : combien d’issues conviennent. En dessous : combien d’issues il y a en tout.

Sur un dé à six faces, obtenir un nombre pair : les issues qui conviennent sont 2, 4 et 6, donc trois issues sur six. La probabilité vaut 3 sur 6, soit 1 sur 2.

Relis ta liste avant de calculer

Deux contrôles rapides, à faire avant d’écrire quoi que ce soit sous le trait de fraction. Ils prennent dix secondes et ils rattrapent la plupart des résultats faux.

Premier contrôle : le tout premier résultat possible et le tout dernier sont-ils écrits ? Ce sont les deux qu’on saute le plus souvent, parce qu’on démarre la liste trop tard ou qu’on l’arrête trop tôt.

Deuxième contrôle : chaque résultat n’apparaît-il qu’une seule fois ? Passe la liste au doigt de gauche à droite, sans sauter de case.

Si tu hésites sur le nombre à écrire en bas de la fraction, ce n’est pas la fraction qui pose problème : c’est que ta liste n’est pas finie.

À retenir

  • Une issue est un résultat possible. Les lister toutes, dans l’ordre, chacune une seule fois.
  • Entre le premier et le dernier objet, il y a un objet de plus que d’écarts : compte les objets.
  • Issues équiprobables : la probabilité est le nombre d’issues qui conviennent sur le total.

Un exercice, tout de suite

Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.

Exercice 1

Un sac contient des jetons de même taille et de même matière, numérotés de 10 à 21. Chaque numéro n’apparaît qu’une seule fois.

Tu tires un jeton au hasard, sans regarder dans le sac.

Quelle est la probabilité de tirer un numéro pair ?

Voir la correction

On écrit d’abord la liste de tous les jetons, dans l’ordre : 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 20 ; 21.

Entre 10 et 21, il y a 21 moins 10 égale 11 écarts, mais un jeton de plus : 21 moins 10 plus 1 égale 12 jetons.

Dans cette liste, les numéros pairs sont : 10 ; 12 ; 14 ; 16 ; 18 ; 20. Il y en a 6.

La probabilité vaut donc 6 sur 12, soit 1 sur 2.

Ce que ça ouvre ensuite

Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Elle ne dit pas si votre enfant le sait. C'est la question à laquelle Canopée répond dans son atelier : une notion ne compte comme acquise que le jour où l'élève réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. L'atelier ouvre aujourd'hui la sixième ; le parcours de troisième arrivera avec la prépa brevet 2027. Voir comment.