Aires des figures
Calculer l'aire d'un triangle ou d'un parallélogramme, hauteur bien choisie.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 2 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, la cause est souvent une notion d'avant.
- Aires (6e)
- Perpendiculaires et parallèles (6e)
Tout part du rectangle
Tu sais déjà calculer l’aire d’un rectangle. Tu le remplis de carrés de 1 cm de côté, rangée par rangée, et tu les comptes.
Une rangée compte autant de carrés que la longueur. Il y a autant de rangées que la largeur. On multiplie donc les deux.
Le parallélogramme et le triangle se ramènent aussi à un rectangle. On y arrive en déplaçant des morceaux.
Le parallélogramme est un rectangle déplacé
Un parallélogramme ressemble à un rectangle penché. Ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. Pose-le sur un de ses côtés. Ce côté s’appelle la base.
À un bout, un triangle dépasse. Coupe-le avec un trait perpendiculaire à la base. Puis glisse-le à l’autre bout.
Il s’emboîte pile, et tu obtiens un rectangle. Tu n’as rien ajouté ni enlevé, donc l’aire n’a pas changé.
Ce rectangle a la même base. Son autre côté mesure l’écart entre les deux côtés parallèles. Cet écart s’appelle la hauteur.
Aire du parallélogramme : b fois h, la base fois la hauteur qui tombe sur elle.
Le triangle est la moitié d’un parallélogramme
Prends un triangle et fais-en une copie. Tourne la copie d’un demi-tour. Colle-la contre un côté du premier.
Les deux triangles forment un parallélogramme, sans trou et sans se chevaucher. Ton triangle en est donc la moitié.
Aire du triangle : b fois h, le tout divisé par 2. On divise par 2 parce que le parallélogramme est fait de deux triangles.
Si tu oublies une formule, refais le découpage dans ta tête. Il te la redonne.
Le côté pris pour la hauteur
Prendre un côté pour la hauteur, c’est là que presque tout le monde se trompe. La hauteur n’est pas un côté. C’est la distance entre la base et le sommet opposé, mesurée perpendiculairement à la base.
Dans un rectangle, le côté debout est déjà perpendiculaire à la base. Donc c’est aussi la hauteur. Dès que la figure penche, ce n’est plus vrai.
Souvent, l’énoncé donne trois longueurs, et une ne sert pas. Si tu prends les deux premières venues, ce sont parfois deux côtés.
Dans un triangle très penché, la hauteur tombe même à l’extérieur du triangle. On prolonge la base pour la tracer. C’est quand même elle qu’on multiplie.
Avant de multiplier, vérifie que tes deux longueurs sont perpendiculaires. Sinon, l’une des deux n’est pas la hauteur.
À retenir
- Parallélogramme : b fois h, la base fois la hauteur qui tombe sur elle.
- Triangle : la moitié du parallélogramme, b fois h, le tout divisé par 2.
- La hauteur n’est pas un côté : elle est perpendiculaire à la base.
Un exercice, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Une bâche de jardin a la forme d’un triangle. L’un de ses côtés mesure 14 cm.
La hauteur qui tombe perpendiculairement sur ce côté mesure 10 cm. Un autre côté du triangle mesure 16 cm.
Quelle est l’aire de ce triangle, en cm² ?
Voir la correction
On prend le côté de 14 cm et la hauteur de 10 cm, qui lui est perpendiculaire.
Le rectangle fait avec ces deux longueurs a pour aire 14 fois 10 égale 140 cm². Le triangle en est la moitié.
140 divisé par 2 égale 70 cm². C’est l’aire du triangle.
La longueur de 16 cm est un autre côté. Elle ne sert pas dans le calcul.
Ce que ça ouvre ensuite
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