Aires des figures
Calculer l'aire d'un triangle ou d'un parallélogramme, hauteur bien choisie.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 2 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, c'est souvent là que ça se joue.
- Aires (6e)
- Perpendiculaires et parallèles (6e)
Tout part du rectangle
Tu sais déjà trouver l’aire d’un rectangle. Tu poses des carrés de 1 cm de côté, rangée par rangée, et tu les comptes.
Une rangée en contient autant que la longueur, et il y a autant de rangées que la largeur. D’où le produit des deux.
Le parallélogramme et le triangle n’ajoutent rien à ça. Ce sont des rectangles découpés autrement, et leurs aires se retrouvent en remettant les morceaux en place.
Le parallélogramme est un rectangle déplacé
Un parallélogramme est un quadrilatère penché : ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. Pose-le sur l’un de ses côtés, celui qu’on appelle la base.
À une extrémité, un triangle dépasse. Coupe-le d’un trait perpendiculaire à la base, prends-le, et glisse-le tout contre l’autre extrémité.
Il s’emboîte exactement, et ce qui reste est un rectangle. Aucun morceau n’a été ajouté, aucun n’a été jeté : l’aire n’a pas bougé.
Ce rectangle a la même base, et sa deuxième dimension est l’écartement entre les deux côtés parallèles. Cet écartement, c’est la hauteur.
Aire du parallélogramme : b fois h, la base multipliée par la hauteur qui lui correspond.
Le triangle est la moitié d’un parallélogramme
Prends un triangle et fabrique-en une copie. Retourne la copie d’un demi-tour et colle-la contre l’un des côtés du premier.
Les deux triangles forment un parallélogramme, sans trou ni chevauchement. Le triangle en occupe donc exactement la moitié.
Aire du triangle : b fois h, le tout divisé par 2. Le demi ne tombe pas du ciel, il vient de ce doublement.
Deux découpages, deux formules. Si tu les oublies, refais le découpage dans ta tête : il redonne les deux.
Voici où presque tout le monde se trompe
La hauteur n’est pas un côté. C’est la distance entre la base et le sommet opposé, mesurée perpendiculairement à cette base.
Dans un rectangle, les deux se confondent : le côté vertical EST la hauteur, parce qu’il est déjà perpendiculaire à la base. C’est ce qui rend la confusion si naturelle dans les autres figures.
Un énoncé donne souvent trois longueurs, et l’une ne sert pas. L’élève multiplie les deux nombres qu’il a sous les yeux, et ce sont parfois deux côtés.
Dans un triangle très penché, la hauteur tombe même en dehors de la figure : il faut prolonger la base pour la voir arriver. Elle reste la hauteur, et c’est elle qui compte.
Le contrôle à faire avant de multiplier : mes deux longueurs se coupent-elles à angle droit ? Si non, l’une des deux est un côté de trop.
À retenir
- Parallélogramme : b fois h, la base par la hauteur qui lui correspond.
- Triangle : la moitié du parallélogramme, b fois h, le tout divisé par 2.
- La hauteur n’est pas un côté : elle est perpendiculaire à la base.
Un exercice, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Une bâche de jardin a la forme d’un triangle. L’un de ses côtés mesure 14 cm.
La hauteur qui tombe perpendiculairement sur ce côté mesure 10 cm. Un autre côté du triangle mesure 16 cm.
Quelle est l’aire de ce triangle, en cm² ?
Voir la correction
Deux longueurs vont ensemble : le côté de 14 cm et la hauteur de 10 cm, qui lui est perpendiculaire.
Le rectangle construit sur ces deux longueurs a pour aire 14 fois 10 égale 140 cm². Le triangle en occupe la moitié.
140 divisé par 2 égale 70 cm². L’aire du triangle vaut donc 70 cm².
La longueur de 16 cm est un côté du triangle, pas une hauteur : elle n’entre dans aucun de ces deux calculs.
Ce que ça ouvre ensuite
Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Elle ne dit pas si votre enfant le sait. C'est la question à laquelle Canopée répond dans son atelier : une notion ne compte comme acquise que le jour où l'élève réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. L'atelier ouvre aujourd'hui la sixième ; le parcours de troisième arrivera avec la prépa brevet 2027. Voir comment.