Pyramide et cône
Reconnaître une pyramide et un cône, et retrouver leur patron.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 2 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, la cause est souvent une notion d'avant.
- Solides et patrons (6e)
- Prismes et cylindres (5e)
Deux solides qui finissent en pointe
Une pyramide part d’une base plate : un carré, un rectangle, un triangle. Sur chaque côté de la base monte un triangle. Tous ces triangles se rejoignent en un seul point : le sommet.
Un cône fait pareil, mais sa base est un disque. Sa surface monte jusqu’au sommet sans aucune arête.
Déplie une pyramide et tu obtiens son patron. On y voit la base, et un triangle collé à chacun de ses côtés. Le patron d’un cône, c’est un disque et un morceau en forme de part de tarte. Ce morceau s’enroule pour faire la pointe.
La hauteur part du sommet et tombe à angle droit sur le plan de la base. Ce n’est pas la longueur d’une arête penchée, ni celle du bord qui descend le long du cône.
Trois pyramides remplissent le prisme
Prends une pyramide et un prisme droit qui ont la même base et la même hauteur. Remplis la pyramide de sable, verse-la dans le prisme. Recommence.
Au troisième versement, le prisme est plein à ras bord. On peut faire cette expérience en classe, avec des maquettes.
Avec un cône et un cylindre de même base et de même hauteur, c’est pareil. Trois cônes de sable remplissent le cylindre.
En quatrième, on ne démontre pas ce résultat. Mais c’est de là que vient le « divisé par 3 » de la formule.
Une seule formule pour les deux
Depuis la cinquième, tu sais calculer le volume d’un solide droit. C’est l’aire de sa base multipliée par sa hauteur. Prends le solide droit de même base et de même hauteur que ton solide pointu. Le solide pointu a le tiers de son volume.
Volume d’une pyramide ou d’un cône : aire de la base fois hauteur, le tout divisé par 3.
Que la base soit un carré, un triangle ou un disque, c’est la même formule.
Le tiers, là où presque tout le monde se trompe
L’aire de la base, en général, tu la trouves. Ce qui saute, c’est la division par 3, tout à la fin.
On trouve l’aire, on la multiplie par la hauteur, et on s’arrête là. Ce nombre, c’est le volume du prisme ou du cylindre qui entoure ton solide.
Rien ne te prévient : l’unité est bonne et le nombre semble juste. Pourtant, il est trois fois trop grand.
Avant d’écrire ta réponse, regarde ton solide. S’il finit en pointe, ton dernier calcul est une division par 3.
À retenir
- Volume d’une pyramide ou d’un cône : aire de la base fois hauteur, divisé par 3.
- Trois pyramides remplissent le prisme de même base et de même hauteur.
- Si le solide finit en pointe, le dernier calcul est une division par 3.
Un exercice, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Un cône a pour base un disque. L’aire de ce disque mesure 86 cm².
Du disque jusqu’au sommet, le cône mesure 42 cm de haut. Quel est son volume, en cm³ ?
Voir la correction
Ton solide finit en pointe. On calcule d’abord le volume d’un cylindre de même base et de même hauteur.
L’aire de la base est donnée dans l’énoncé : 86 cm².
Ce cylindre contient 86 fois 42 égale 3612 cm³.
Ton solide en occupe le tiers : 3612 divisé par 3 égale 1204 cm³.
Trois longueurs entrent dans le calcul, donc le résultat est bien en cm³.
Ce que ça ouvre ensuite
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