Pyramide et cône
Reconnaître une pyramide et un cône, et retrouver leur patron.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 2 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, c'est souvent là que ça se joue.
- Solides et patrons (6e)
- Prismes et cylindres (5e)
Deux solides qui se referment vers un sommet
Une pyramide part d’une base plate : un carré, un rectangle, un triangle. De chaque côté de cette base monte une face triangulaire, et toutes ces faces se rejoignent en un seul point, le sommet.
Un cône fait la même chose avec un disque. Sa surface se referme vers un sommet unique, sans aucune arête.
Déplie une pyramide et tu obtiens son patron : la base, plus autant de triangles que la base a de côtés. Déplie un cône et tu obtiens un disque, plus une portion de disque qui s’enroule autour.
La hauteur, c’est la distance du plan de la base au sommet, mesurée tout droit. Ce n’est pas la longueur d’une arête inclinée, ni celle du bord qui descend du sommet vers la base.
Trois pyramides remplissent le prisme
Prends une pyramide et un prisme droit qui ont la même base et la même hauteur. Remplis la pyramide de sable, verse-la dans le prisme. Recommence.
Au troisième versement, le prisme est plein, à ras bord. Pas presque plein : plein. Des maquettes de classe font cette expérience, et elle se voit.
Le cône se conduit exactement pareil avec le cylindre de même base et de même hauteur. Trois cônes pleins, et le cylindre déborde tout juste.
Personne ne te demande de démontrer ça en quatrième. Mais tu sais maintenant d’où vient le tiers, et un nombre dont on connaît l’origine ne s’oublie pas de la même façon.
Une seule relation, pas deux formules
Tu sais déjà calculer un solide droit depuis la cinquième : l’aire de sa base, multipliée par sa hauteur. Un solide pointu en garde le tiers, et rien d’autre ne change.
Volume d’une pyramide ou d’un cône : aire de la base fois hauteur, le tout divisé par 3.
Base carrée, base triangulaire, disque : la relation ne bouge pas. Ce n’est pas une formule par solide, c’est la même pour tous ceux qui finissent en pointe.
Voici où presque tout le monde se trompe
L’erreur n’est presque jamais dans l’aire de la base. Elle est dans le tiers, oublié au dernier moment.
L’élève trouve l’aire, la multiplie par la hauteur, écrit son résultat et passe à la suite. Ce résultat existe : c’est le volume du prisme ou du cylindre, celui dans lequel le solide pointu est posé.
Rien ne prévient. Le calcul est propre, l’unité est bonne, le nombre a l’air ordinaire. Seul le sommet a disparu du raisonnement, et il vaut un facteur trois.
Voici le contrôle à faire passer avant d’écrire ta réponse. Demande-toi si ton solide se termine en pointe. S’il se termine en pointe, ton dernier geste est une division par 3.
À retenir
- Pyramide ou cône : le solide droit de même base et de même hauteur, divisé par 3.
- Trois pyramides de même base et de même hauteur remplissent exactement le prisme.
- Un solide qui finit en pointe garde le tiers : une seule relation pour tous.
Un exercice, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Un cône a pour base un disque. L’aire de ce disque mesure 86 cm².
Du disque jusqu’au sommet, le cône mesure 42 cm de haut. Quel est son volume, en cm³ ?
Voir la correction
Ce solide se referme vers un sommet, donc passe d’abord par un cylindre de même base et de même hauteur.
L’aire de la base est déjà écrite dans l’énoncé : 86 cm². Rien à calculer de ce côté.
Ce cylindre contient 86 fois 42 égale 3612 cm³.
Trois cônes comme celui de l’énoncé le remplissent exactement, donc 3612 divisé par 3 égale 1204 cm³.
Trois longueurs sont entrées dans le calcul, donc le résultat se compte bien en centimètres cubes. Et le solide pointu tient trois fois dans le solide droit, comme toujours.
Ce que ça ouvre ensuite
Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Elle ne dit pas si votre enfant le sait. C'est la question à laquelle Canopée répond dans son atelier : une notion ne compte comme acquise que le jour où l'élève réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. L'atelier ouvre aujourd'hui la sixième ; le parcours de troisième arrivera avec la prépa brevet 2027. Voir comment.