Trigonométrie
Choisir entre cosinus, sinus et tangente pour trouver un côté ou un angle.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 3 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, la cause est souvent une notion d'avant.
- Théorème de Pythagore (4e)
- Proportionnalité (6e)
- Calcul avec les racines (3e)
Nommer les côtés depuis un angle
Voici un triangle rectangle en C. On regarde l’angle en A, marqué par des hachures.
L’hypoténuse est en face de l’angle droit : c’est [AB], le plus long des trois côtés.
Le côté adjacent à l’angle A le touche, sans être l’hypoténuse : c’est [AC]. Le côté opposé est en face : [BC].
Le même côté change de nom
Voici l’endroit où presque tout le monde se trompe : le nom des deux petits côtés.
Regarde maintenant l’angle en B. [AC], qui était adjacent à l’angle A, est opposé à l’angle B. Et [BC] devient adjacent.
Adjacent et opposé dépendent de l’angle regardé. L’hypoténuse, elle, garde son nom. Nomme toujours l’angle d’abord, les côtés ensuite.
Trois rapports
Le cosinus, le sinus et la tangente d’un angle aigu sont trois rapports de longueurs.
| se calcule | dans le triangle ABC | |
|---|---|---|
| cosinus de l’angle A | adjacent ÷ hypoténuse | AC ÷ AB = 4 ÷ 5 = 0,8 |
| sinus de l’angle A | opposé ÷ hypoténuse | BC ÷ AB = 3 ÷ 5 = 0,6 |
| tangente de l’angle A | opposé ÷ adjacent | BC ÷ AC = 3 ÷ 4 = 0,75 |
Agrandis le triangle sans changer l’angle : les deux longueurs grandissent ensemble, et leur quotient ne bouge pas. Un rapport ne dépend que de l’angle.
Un cosinus ou un sinus vaut toujours moins de 1 : on divise par l’hypoténuse, le plus long côté.
Choisir le bon rapport
On connaît AB = 5 cm et l’angle A = 37°. On cherche AC.
Pose-toi deux questions : quel côté connais-tu, lequel cherches-tu ? Prends le rapport qui contient les deux.
Ici, l’hypoténuse [AB] et le côté adjacent [AC] : c’est le cosinus.
Calculer une longueur, puis un angle
On écrit cosinus de l’angle A égale AC sur AB, donc AC égale 5 fois cosinus de 37 degrés.
La calculatrice, réglée en degrés, donne environ 4,0 cm : on retrouve le triangle du début.
Pour un angle, on fait le chemin inverse. Si cosinus de l’angle A égale 0,8, la touche arccos de la calculatrice donne l’angle : environ 37°. On la note aussi cosinus moins 1.
À retenir
- L’hypoténuse est en face de l’angle droit. Adjacent et opposé dépendent de l’angle regardé.
- Cosinus : adjacent sur hypoténuse. Sinus : opposé sur hypoténuse. Tangente : opposé sur adjacent.
- Prends le rapport qui contient le côté connu et le côté cherché. Calculatrice en degrés.
Deux exercices, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Le triangle VWX est rectangle en X.
Quel est le côté opposé à l’angle W ?
Voir la correction
L’angle droit est en X, donc l’hypoténuse est [VW], en face de lui.
Depuis l’angle W, [WX] touche l’angle sans être l’hypoténuse : il est adjacent. [VX] est en face : il est opposé.
La réponse est [VX].
Exercice 2
Le triangle OPQ est rectangle en Q. On connaît l’angle O et OQ = 5 cm. On cherche OP.
Quel rapport faut-il utiliser ?
Voir la correction
Depuis l’angle O, OQ est le côté adjacent et OP est l’hypoténuse.
Le rapport qui contient ces deux côtés est le cosinus : côté adjacent sur hypoténuse.
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