Trigonométrie

Choisir entre cosinus, sinus et tangente pour trouver un côté ou un angle.

Avant celle-ci

Cette notion s'appuie sur 3 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, c'est souvent là que ça se joue.

Trois rapports, pas trois formules

Le cosinus, le sinus et la tangente ne sont pas trois formules à apprendre par cœur. Ce sont trois RAPPORTS : à chaque fois, une longueur divisée par une autre longueur.

Le cosinus d’un angle, c’est la longueur du côté adjacent divisée par celle de l’hypoténuse. Le sinus, c’est le côté opposé divisé par l’hypoténuse. La tangente, c’est le côté opposé divisé par le côté adjacent.

Un rapport ne dépend pas de la taille du triangle. Agrandis le triangle : les deux longueurs grandissent ensemble, et leur quotient ne bouge pas.

Nommer les trois côtés, c’est presque tout le travail

L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit, et c’est le plus long des trois. Elle garde ce nom quel que soit l’angle que tu regardes.

Les deux autres côtés, eux, CHANGENT de nom selon l’angle choisi. Le côté adjacent à un angle est celui qui le touche, sans être l’hypoténuse. Le côté opposé est celui qui ne le touche pas.

« Adjacent » et « opposé » ne sont donc pas des propriétés du côté. Ce sont des propriétés de la relation entre le côté et l’angle que tu as choisi de regarder.

Ce que tu connais décide du rapport

Tu ne choisis pas au hasard, ni par habitude. Deux questions suffisent : quelles longueurs connais-tu, et laquelle cherches-tu ?

Le rapport à écrire est celui qui contient ces deux côtés-là, et aucun autre. Si l’hypoténuse est en jeu, c’est le cosinus ou le sinus. Si ce sont les deux côtés de l’angle droit, c’est la tangente.

Un contrôle gratuit : un cosinus et un sinus valent toujours moins de 1, puisqu’on divise par le plus long des trois côtés.

Voici où presque tout le monde se trompe

L’erreur n’est presque jamais dans le calcul. Elle est dans le nom donné aux côtés. Un même côté est adjacent à un angle et opposé à l’autre.

Dans un triangle ABC rectangle en C, le côté [AC] touche l’angle A : il lui est adjacent. Ce même côté [AC] ne touche pas l’angle B : il lui est opposé.

Avant d’écrire quoi que ce soit, dis donc quel angle tu regardes. Le nom des côtés n’existe qu’à partir de là.

L’autre erreur est d’oublier l’hypoténuse et de diviser un côté de l’angle droit par l’autre. Ce quotient existe, c’est la tangente, et ce n’est pas le cosinus.

À retenir

L’hypoténuse est opposée à l’angle droit. Elle ne change jamais, quel que soit l’angle regardé.
« Adjacent » et « opposé » dépendent de l’angle choisi, pas du côté. Nomme l’angle d’abord.
Cosinus : adjacent sur hypoténuse. Sinus : opposé sur hypoténuse. Tangente : opposé sur adjacent.

Un exercice, tout de suite

Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.

Exercice 1

Le triangle ABC est rectangle en C. Le côté [AC] mesure 40 cm, le côté [BC] mesure 42 cm, et le côté [AB] mesure 58 cm.

Écris sinus de l’angle B sous forme de fraction. Tu peux aussi donner son écriture décimale.

Voir la correction

On regarde l’angle angle B. Le triangle est rectangle en C, donc l’hypoténuse est [AB] : c’est le côté opposé à l’angle droit.

Le côté [BC] touche l’angle B sans être l’hypoténuse : il lui est adjacent. Le côté [AC] ne le touche pas : il lui est opposé.

Le sinus prend le côté opposé et l’hypoténuse, donc [AC] et [AB] : sinus de l’angle B égale 40 sur 58.

Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Elle ne dit pas si votre enfant le sait. C'est la question à laquelle Canopée répond dans son atelier : une notion ne compte comme acquise que le jour où l'élève réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. L'atelier ouvre aujourd'hui la sixième ; le parcours de troisième arrivera avec la prépa brevet 2027. Voir comment.