Fractions irréductibles
Simplifier une fraction jusqu’au bout, et prouver qu’elle ne peut plus l’être.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 3 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, la cause est souvent une notion d'avant.
- Nombres premiers (3e)
- Fractions simples (6e)
- Additionner des fractions (5e)
Deux écritures, une même longueur
En haut, la barre est coupée en 24 parts, et 18 sont hachurées : 18 sur 24. En bas, la même barre est coupée en 4, et 3 sont hachurées : 3 sur 4.
Les deux parties hachurées s’arrêtent au même endroit. 18 sur 24 et 3 sur 4 sont le même nombre, écrit de deux façons.
3 sur 4 se lit mieux, et on ne peut plus la simplifier. On dit qu’elle est irréductible.
Simplifier pas à pas
| Fraction | On divise en haut et en bas par | On obtient |
|---|---|---|
| 18 sur 24 | 2 | 9 sur 12 |
| 9 sur 12 | 3 | 3 sur 4 |
| 3 sur 4 | plus rien, sauf 1 | c’est fini |
On peut simplifier en plusieurs fois : par 2, puis par 3. Le haut et le bas sont divisés par le même nombre, donc la valeur ne bouge pas.
Reste une question : quand s’arrêter ? Tant qu’un nombre autre que 1 divise le haut et le bas, la simplification continue.
Le PGCD, en une seule fois
| Nombre | Ses diviseurs |
|---|---|
| 18 | 1, 2, 3, 6, 9, 18 |
| 24 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 |
| Communs | 1, 2, 3, 6 |
Le plus grand diviseur commun de 18 et 24 est 6. On l’appelle leur PGCD.
Divise une seule fois le haut et le bas par le PGCD : 18 divisé par 6 sur 24 divisé par 6 égale 3 sur 4. D’un coup, c’est fini.
S’arrêter trop tôt
Voici l’endroit où presque tout le monde se trompe : s’arrêter trop tôt. Tu divises 18 sur 24 par 2, tu trouves 9 sur 12, et tu t’arrêtes.
La valeur est juste, les barres le montrent. Mais 9 et 12 sont encore tous les deux dans la table de 3.
Le test de fin : cherche un diviseur commun au haut et au bas. Si le seul est 1, c’est fini.
À la fin d’un calcul
| Étape | Calcul |
|---|---|
| Même dénominateur | 5 sur 6 = 25 sur 30 et 1 sur 10 = 3 sur 30 |
| Addition | 25 sur 30 + 3 sur 30 = 28 sur 30 |
| PGCD de 28 et 30 | 2 |
| Forme irréductible | 14 sur 15 |
Au brevet, la consigne « donne le résultat sous forme irréductible » arrive à la fin d’un calcul.
Ici, 28 sur 30 est juste, mais 28 et 30 sont tous les deux pairs. Leur PGCD vaut 2, et le résultat irréductible est 14 sur 15.
À retenir
- Une fraction est irréductible quand son haut et son bas n’ont plus aucun diviseur commun, sauf 1.
- Diviser le haut et le bas par leur PGCD donne la forme irréductible en une seule fois.
- Ce que tu divises en haut, tu le divises aussi en bas : ainsi la valeur ne change pas.
Deux exercices, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Voici trois fractions : 32 sur 35, 7 sur 28 et 21 sur 35.
Une seule est irréductible : laquelle ?
Voir la correction
21 sur 35 : 21 et 35 sont impairs, mais tous les deux dans la table de 7. Elle se simplifie en 3 sur 5.
7 sur 28 : 7 est premier, et il divise aussi 28. Elle se simplifie en 1 sur 4.
32 sur 35 : 32 et 35 n’ont aucun diviseur commun, sauf 1. C’est elle qui est irréductible.
Exercice 2
Écris cette fraction sous forme irréductible : 33 sur 45.
Voir la correction
On cherche le plus grand nombre qui divise à la fois 33 et 45 : c’est leur PGCD, 3.
On divise une seule fois le haut et le bas par 3 : 33 divisé par 3 sur 45 divisé par 3 égale 11 sur 15.
11 et 15 n’ont plus aucun diviseur commun, sauf 1 : c’est fini.
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