Fonctions linéaires
Relier une fonction linéaire à un coefficient, et le lire sur la droite.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 2 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, la cause est souvent une notion d'avant.
De la proportionnalité, écrite autrement
Des pommes à 3 euros le kilo : le prix est proportionnel à la masse, et le coefficient de proportionnalité vaut 3.
| Masse en kilos | Prix en euros |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 2 | 6 |
| 4 | 12 |
| 5 | 15 |
Le prix de x kilos s’écrit f de x égale 3 x. Une fonction qui s’écrit f de x égale a x est une fonction linéaire, de coefficient a.
Tu sais faire ces calculs depuis la quatrième. Seule l’écriture est nouvelle.
Calculer une image
| x | f de x |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 2 | 6 |
| 4 | 12 |
| 5 | 15 |
Pour calculer f de 4, on remplace x par 4 : f de 4 égale 3 fois 4 égale 12.
Dans f de 4, la parenthèse ne multiplie pas : elle dit que 4 prend la place de x.
Retrouver le coefficient
Parfois, on ne connaît qu’une image, par exemple f de 5 égale 35. Comme f de 5 égale a fois 5, le coefficient est le nombre qui, multiplié par 5, donne 35.
35 divisé par 5
Le coefficient vaut 35 divisé par 5 égale 7, donc f de x égale 7 x.
Vérifie toujours : 7 fois 5 égale 35.
La droite qui passe par l’origine
Place tous les points de coordonnées (x ; f(x)) : ils sont alignés sur une droite qui passe par l’origine. C’est la représentation graphique de f.
Au tableau : un repère se dessine, puis la droite de la fonction qui multiplie par 3. Elle passe par l’origine. Un point posé sur l’axe horizontal monte jusqu’à la droite, puis file vers l’axe vertical, où se lit son image. On peut le déplacer.
Au point d’abscisse 1, la droite est à la hauteur du coefficient : f de 1 égale 3. Chaque fois que x avance de 1, f(x) monte de 3.
Une droite qui passe par l’origine représente une fonction linéaire. Pour lire son coefficient, divise l’ordonnée d’un de ses points par son abscisse.
Image ou antécédent : là où presque tout le monde se trompe
Chercher un antécédent, c’est là que presque tout le monde se trompe : on calcule une image par réflexe.
| x | f de x |
|---|---|
| 4 | ? |
| ? | 21 |
Avec f de x égale 3 x, l’image de 4 se calcule : 3 fois 4 égale 12.
L’antécédent de 21 est le nombre qui donne 21. On résout 3 x égale 21, donc x égale 21 divisé par 3 égale 7.
Calculer 3 × 21 = 63 répond à une autre question : 63 est l’image de 21.
À retenir
- Une fonction linéaire s’écrit f(x) = ax : c’est de la proportionnalité, de coefficient a.
- Image de 4 : f(4) = a × 4. Antécédent de 21 : on résout ax = 21.
- Sa représentation graphique est une droite qui passe par l’origine.
Deux exercices, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
On donne la fonction k de x égale 12 x.
Quelle est l’image de 7 par la fonction k ?
Voir la correction
On remplace x par 7 : k de 7 = 12 fois 7 égale 84.
| x | k de x |
|---|---|
| 7 | 84 |
L’image de 7 par k est 84.
Exercice 2
On donne la fonction k de x égale moins 4 x.
Trouve l’antécédent de 32 par la fonction k.
Voir la correction
On cherche le nombre qui entre dans la fonction. On résout donc moins 4 x égale 32.
On divise les deux côtés par moins 4 : x égale 32 divisé par moins 4 égale moins 8.
| x | k de x |
|---|---|
| moins 8 | 32 |
Ce que ça ouvre ensuite
- Fonctions affines (3e)
Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Votre enfant le sait-il ? C'est la question à laquelle Canopée répond dans son atelier : une notion ne compte comme acquise que le jour où l'élève réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. L'atelier ouvre aujourd'hui la sixième ; le parcours de troisième arrivera avec la prépa brevet 2027. Voir comment.
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