Fonctions affines
Tracer la droite d’une fonction affine, et dire ce que chaque coefficient fait.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur une autre, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, la cause est souvent une notion d'avant.
- Fonctions linéaires (3e)
Une linéaire, plus un point de départ
Un taxi te fait payer 3 euros dès que tu montes, puis 2 euros par kilomètre.
| Distance en kilomètres | Prix en euros |
|---|---|
| 0 | 3 |
| 1 | 5 |
| 2 | 7 |
| 3 | 9 |
| 4 | 11 |
Pour x kilomètres, le prix est f de x égale 2 x plus 3. Une fonction qui s’écrit f de x égale a x plus b est une fonction affine.
Le 2 est le coefficient : le prix monte de 2 à chaque kilomètre. Le 3 est l’ordonnée à l’origine : c’est le prix pour 0 kilomètre.
Doubler les kilomètres ne double pas le prix
| Distance en kilomètres | Prix en euros |
|---|---|
| 2 | 7 |
| 4 | 11 |
Deux kilomètres coûtent 7 euros. Quatre kilomètres coûtent 11 euros : le double de 7 ferait 14, mais les 3 euros du départ ne se paient qu’une fois.
Avec une part fixe, ce n’est plus proportionnel. Le produit en croix de quatrième donnerait 14.
Pour savoir s’il y a une part fixe, calcule f de 0 : si le résultat n’est pas 0, il y en a une.
La droite qui ne passe plus par l’origine
La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.
Au tableau : un repère se dessine, puis la droite du taxi, qui double puis ajoute 3. Elle coupe l’axe vertical au-dessus de l’origine. Un point posé sur l’axe horizontal monte jusqu’à la droite, puis file vers l’axe vertical, où se lit son image. On peut le déplacer.
Elle coupe l’axe vertical à la hauteur de l’ordonnée à l’origine : ici, 3.
Le coefficient dit de combien elle monte quand on avance d’un carreau vers la droite : ici, 2. Un coefficient négatif la fait descendre.
Retrouver le coefficient
Le taxi coûte 3 euros au départ, et 11 euros pour 4 kilomètres. Combien coûte un kilomètre ?
Sur les 4 kilomètres, le prix passe de 3 à 11 euros : il monte de 11 moins 3 égale 8.
Chaque kilomètre coûte donc 8 divisé par 4 égale 2 euros : c’est le coefficient.
Oublier la part fixe : là où presque tout le monde se trompe
Calculer l’image d’un nombre par une fonction affine, c’est là que presque tout le monde se trompe : on fait 2 × 4, et on oublie le 3.
Sans la part fixe, tu obtiens la droite en pointillés, celle de 2x, qui passe par l’origine. La droite de f est la même, montée de 3.
Calcule d’abord ax, puis ajoute b, toujours : f de 4 égale 2 fois 4 plus 3 égale 11.
À retenir
- Une fonction affine s’écrit f(x) = ax + b : a dit de combien ça monte à chaque pas, b est la valeur en 0.
- Avec b différent de 0, ce n’est plus proportionnel : doubler x ne double pas f(x).
- Sa droite coupe l’axe vertical à la hauteur b.
Deux exercices, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
On donne la fonction h de x égale 7 x plus 8.
Calcule h de 11.
Voir la correction
On remplace x par 11. La multiplication passe avant l’addition : h de 11 = 7 fois 11 plus 8 égale 85.
| x | h de x |
|---|---|
| 0 | 8 |
| 11 | 85 |
La part fixe, 8, s’ajoute une seule fois, quel que soit x.
Exercice 2
La fonction h est définie par h de x égale a x moins 6, où a est un nombre inconnu.
On sait que h de 10 égale 84. Quelle est la valeur de a ?
Voir la correction
On remplace x par 10 : a fois 10 moins 6 égale 84.
On défait d’abord la part fixe : 10 a égale 84 plus 6 égale 90.
Puis on divise par 10 : a égale 90 divisé par 10 égale 9.
Vérification : h de 10 = 9 fois 10 moins 6 égale 84.
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