Équations produit

Résoudre une équation produit, et comprendre d’où viennent ses deux solutions.

Avant celle-ci

Cette notion s'appuie sur 2 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, la cause est souvent une notion d'avant.

Factoriser par les identités (3e)
Équations du premier degré (4e)

Quand un produit vaut-il zéro ?

Prends le produit parenthèse x moins 2 fermée, fois parenthèse x plus 3 fermée et calcule-le pour quelques valeurs de x.

Tableau de valeurs. Pour x égal à moins 4, moins 3, 0, 2 et 3, on lit x moins 2, x plus 3 et leur produit. Le produit vaut 0 pour x égal à moins 3 et pour x égal à 2 : sur ces deux lignes, un des deux facteurs vaut 0. Sur les autres lignes, aucun facteur ne vaut 0 et le produit non plus.
x	x moins 2	x plus 3	le produit
moins 4	moins 6	moins 1	6
moins 3	moins 5	0	0
0	moins 2	3	moins 6
2	0	5	0
3	1	6	6

Regarde la dernière colonne. Le produit vaut zéro deux fois : pour x = −3 et pour x = 2.

Sur ces deux lignes, un des deux facteurs vaut zéro. Sur toutes les autres, aucun ne vaut zéro, et le produit non plus.

La règle du produit nul

Deux nombres qui ne valent pas zéro ne donnent jamais zéro en se multipliant. D’où la règle : un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.

Une droite graduée de moins 4 à 3. Deux graduations sont repérées : moins 3 et 2, les deux solutions de l’équation.

Pour résoudre parenthèse x moins 2 fermée, fois parenthèse x plus 3 fermée, égale zéro, tu écris donc x moins 2 égale zéro ou x plus 3 égale zéro. Les deux solutions sont 2 et −3.

Deux facteurs, deux solutions

Chaque facteur donne sa petite équation, et chacune a sa solution. Avec deux facteurs, tu cherches deux solutions.

Une droite graduée de moins 1 à 6. Deux graduations sont repérées : 0 et 5, les deux solutions de x fois parenthèse x moins 5, égale zéro.

La solution qu’on oublie le plus, c’est zéro. Dans x fois parenthèse x moins 5 fermée, égale zéro, le premier facteur est x tout seul : il vaut zéro quand x = 0.

Si tu t’arrêtes à x = 5, il manque une solution.

Développer, c’est là que presque tout le monde se trompe

Depuis la quatrième, devant des parenthèses, tu développes. Devant un produit égal à zéro, garde les parenthèses.

Deux colonnes qui partent de la même équation. À gauche, on développe : on obtient x au carré plus x moins 6 égale zéro, et aucune règle ne permet de continuer. À droite, on garde le produit : deux petites équations, puis les deux solutions 2 et moins 3.
Si tu développes	Si tu gardes le produit
parenthèse x moins 2 fermée, fois parenthèse x plus 3 fermée, égale zéro	parenthèse x moins 2 fermée, fois parenthèse x plus 3 fermée, égale zéro
x au carré plus x moins 6 égale zéro	x moins 2 égale zéro ou x plus 3 égale zéro
Aucune règle du cours ne s’applique à cette ligne.	x égale 2 ou x égale moins 3

Le produit que tu avais au départ, c’est lui qui donne les solutions. Développer le fait disparaître.

Quand le produit n’est pas encore écrit

Parfois, l’équation n’a pas encore la forme d’un produit. Pour x au carré moins 9 égale zéro, factorise d’abord.

Tableau en trois étapes pour x au carré moins 9 égale zéro : on factorise en parenthèse x moins 3, fois parenthèse x plus 3, on écrit que l’un des facteurs vaut zéro, et on obtient les solutions 3 et moins 3.
Étape	Ce qu’on écrit
Factoriser	parenthèse x moins 3 fermée, fois parenthèse x plus 3 fermée, égale zéro
Un facteur vaut zéro	x moins 3 égale zéro ou x plus 3 égale zéro
Les solutions	x égale 3 ou x égale moins 3

La règle ne marche qu’avec zéro. Si parenthèse x moins 2 fermée, fois parenthèse x plus 3 fermée, égale 6, deux nombres peuvent faire 6 de mille façons : 2 fois 3, 1 fois 6, 12 fois un demi. Aucun facteur n’est alors obligé de valoir quoi que ce soit.

À retenir

Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.
Devant un produit égal à zéro, garde les parenthèses : chaque facteur donne une petite équation.
Deux facteurs, deux solutions. Quand x est un facteur, x = 0 en est une.

Deux exercices, tout de suite

Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.

Exercice 1

Quelles sont les solutions de l’équation 2 x, fois parenthèse x moins 11 fermée, égale zéro ?

Voir la correction

Le produit vaut zéro seulement si l’un de ses facteurs vaut zéro. Chaque facteur donne une petite équation.

Tableau en deux colonnes : chaque facteur égalé à zéro, puis la solution qu’il donne.
Premier facteur	Second facteur
2 x égale zéro	x moins 11 égale zéro
x égale 0	x égale 11

Une droite graduée où sont repérées les deux solutions, 0 et 11.

Les solutions sont x égale 0 ou x égale 11.

Exercice 2

Résous l’équation parenthèse 5 x plus 12 fermée, fois parenthèse x plus 11 fermée, égale zéro.

Donne la plus grande de ses deux solutions.

Voir la correction

Le produit vaut zéro seulement si l’un de ses facteurs vaut zéro. On résout donc deux petites équations.

Tableau de résolution en deux colonnes, une par facteur. Chaque colonne écrit que le facteur vaut zéro, isole le terme en x, puis donne la solution.
Étape	Premier facteur	Second facteur
Le facteur vaut zéro	5 x plus 12 égale zéro	x plus 11 égale zéro
Le terme en x, seul	5 x égale moins 12	x égale moins 11
La solution	x égale moins 12 sur 5	x égale moins 11

Une droite graduée où sont repérées les deux solutions, moins 12 sur 5 et moins 11. Une flèche désigne moins 12 sur 5.

La plus grande est celle de droite : moins 12 sur 5.

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