Agrandissement et réduction
Prévoir l’effet d’un agrandissement sur une aire, puis sur un volume.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 3 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, c'est souvent là que ça se joue.
- Aires (6e)
- Volumes (6e)
- Proportionnalité et graphiques (4e)
Agrandir, c’est multiplier chaque longueur
Agrandir une figure avec un facteur 3, c’est multiplier chacune de ses longueurs par 3. Chaque côté, chaque diagonale, chaque hauteur.
La forme ne change pas, seule la taille change. Réduire fonctionne de la même façon, avec un facteur plus petit que 1.
On appelle ce facteur k. Il vaut 3 pour un agrandissement de facteur 3, et 0,5 pour une réduction de moitié.
Une aire est un produit de deux longueurs
Prends un carré de 1 cm de côté. Son aire vaut 1 cm².
Agrandis-le avec un facteur 3. Ses côtés mesurent maintenant 3 cm. Découpe ce grand carré en carrés de 1 cm de côté. Il y en a 3 fois 3 égale 9.
Les longueurs ont été multipliées par 3, et l’aire par 9. Le facteur intervient deux fois, parce qu’une aire est une longueur multipliée par une longueur.
Voici où presque tout le monde se trompe
Voici l’endroit où presque tout le monde se trompe, et ce n’est pas un défaut d’attention. Prends une boîte et double toutes ses dimensions. Par combien son volume est-il multiplié ?
La réponse spontanée est deux. La bonne réponse est huit.
Un volume est un produit de trois longueurs : la longueur, la largeur et la profondeur. Chacune est doublée, donc le volume est multiplié par 2 fois 2 fois 2 égale 8.
Une boîte deux fois plus longue, deux fois plus large et deux fois plus profonde contient huit fois plus de choses. Répondre deux, ce n’est pas une étourderie de calcul : c’est traiter un volume comme une longueur.
Une seule idée, pas trois règles
Les longueurs sont multipliées par k, les aires par k au carré, les volumes par k au cube.
Ce ne sont pas trois règles à apprendre séparément. L’exposant compte les dimensions : une longueur en a une, une aire en a deux, un volume en a trois.
L’unité le dit déjà. Des cm, des cm², des cm³ : le petit chiffre compte les longueurs que tu as multipliées.
Si l’exposant t’échappe, recompte les longueurs de la grandeur demandée. Tu le retrouves à chaque fois, et tu n’as donc rien à mémoriser.
À retenir
- Facteur k : les longueurs sont multipliées par k, les aires par k au carré, les volumes par k au cube.
- L’exposant compte les dimensions : une longueur en a une, une aire deux, un volume trois.
- Double les dimensions d’une boîte et son volume est multiplié par huit, pas par deux.
Un exercice, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Un écusson rectangulaire a une aire de 34 cm².
On l’agrandit avec un facteur 5. Chacune de ses longueurs est multipliée par 5.
Quelle est l’aire du rectangle agrandi, en cm² ?
Voir la correction
Une aire de rectangle est un produit de deux longueurs : la largeur par la hauteur.
L’agrandissement multiplie la largeur par 5, et la hauteur par 5 aussi.
Le facteur intervient donc deux fois : 34 fois 5 fois 5 égale 850.
L’aire agrandie vaut 850 cm². Le même calcul s’écrit 34 fois 5 au carré, et le petit 2 compte les longueurs.
Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Elle ne dit pas si votre enfant le sait. C'est la question à laquelle Canopée répond dans son atelier : une notion ne compte comme acquise que le jour où l'élève réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. L'atelier ouvre aujourd'hui la sixième ; le parcours de troisième arrivera avec la prépa brevet 2027. Voir comment.