Agrandissement et réduction
Prévoir l’effet d’un agrandissement sur une aire, puis sur un volume.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 3 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, la cause est souvent une notion d'avant.
- Aires (6e)
- Volumes (6e)
- Proportionnalité et graphiques (4e)
Agrandir, c’est multiplier chaque longueur
Agrandir une figure avec un facteur 3, c’est multiplier toutes ses longueurs par 3. Les côtés, mais aussi les diagonales et les hauteurs.
La figure garde sa forme, elle grandit seulement. Pour réduire, c’est pareil, avec un facteur plus petit que 1.
Ce facteur s’appelle k. Pour réduire de moitié, il vaut 0,5.
Une aire, c’est deux longueurs multipliées
Prends un carré de 1 cm de côté. Son aire vaut 1 cm².
Agrandis-le avec un facteur 3. Ses côtés mesurent maintenant 3 cm. Découpe-le en petits carrés de 1 cm. Il y en a 3 fois 3 égale 9.
Les longueurs sont multipliées par 3. L’aire, elle, est multipliée par 9. Le facteur 3 compte deux fois : une fois pour la largeur, une fois pour la hauteur.
Et pour un volume ?
Prends une boîte. Double sa longueur, sa largeur et sa profondeur. Son volume est multiplié par combien ?
Presque tout le monde répond deux. La réponse est huit.
Le volume d’une boîte, c’est la longueur fois la largeur fois la profondeur. Les trois sont doublées. Le volume est donc multiplié par 2 fois 2 fois 2 égale 8.
Remplis la petite boîte de cubes. La grande en contient huit fois plus. Répondre deux, c’est faire comme si le volume était une longueur.
Une seule idée pour les trois
Les longueurs sont multipliées par k, les aires par k au carré, les volumes par k au cube.
L’exposant compte les longueurs qu’on multiplie. Une aire en multiplie deux, un volume trois. Les unités le montrent aussi : cm, cm², cm³.
Un doute sur l’exposant ? Compte les longueurs qu’il faut multiplier.
À retenir
- Facteur k : les longueurs sont multipliées par k, les aires par k au carré, les volumes par k au cube.
- L’exposant compte les longueurs multipliées, deux pour une aire et trois pour un volume.
- Si on double les dimensions d’une boîte, son volume est multiplié par huit, pas par deux.
Un exercice, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Un écusson rectangulaire a une aire de 34 cm².
On l’agrandit avec un facteur 5. Toutes ses longueurs sont multipliées par 5.
Quelle est son aire après l’agrandissement, en cm² ?
Voir la correction
L’aire d’un rectangle, c’est la largeur fois la hauteur.
La largeur est multipliée par 5, et la hauteur aussi.
Le facteur compte donc deux fois : 34 fois 5 fois 5 égale 850.
L’aire agrandie vaut 850 cm². Le calcul s’écrit aussi 34 fois 5 au carré. Le petit 2 compte les deux longueurs.
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