Probabilités
Dire quelle chance a un événement de se produire, et l'écrire comme une fraction.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 2 autres. Si ça coince ici, la cause est souvent une notion d'avant.
Peut-on mesurer une chance ?
On joue aux dés depuis l’Antiquité : on en a retrouvé dans des tombes égyptiennes et romaines. Pendant des siècles, on joue sans calculer ses chances de gagner.
Au 17e siècle, un joueur pose une question à deux mathématiciens français, Blaise Pascal et Pierre de Fermat. Si une partie s’arrête avant la fin, comment partager l’argent misé de façon juste ? En 1654, ils s’écrivent des lettres pour y répondre. C’est le début du calcul des probabilités.
Leur question est aussi celle de cette leçon : une chance, est-ce que ça se mesure ? Peut-on dire avec un nombre qu’un événement a plus de chances qu’un autre ? Oui. Ce nombre s’appelle une probabilité.
Un nombre entre 0 et 1
Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1. Les deux bouts de l’échelle sont les deux cas extrêmes.
Un événement impossible a une probabilité de 0 : obtenir 9 avec un dé à six faces. Un événement certain a une probabilité de 1 : obtenir un nombre plus petit que 7 avec ce même dé.
Une échelle graduée de 0 à 1, partagée en dix intervalles égaux. À gauche, 0 : l’événement impossible. À droite, 1 : l’événement certain. Au milieu, une flèche désigne 0,5, soit une chance sur deux. Plus on va vers la droite, plus l’événement a de chances de se produire.
Tout le reste se place entre les deux. Plus la probabilité est proche de 1, plus l’événement a de chances d’arriver. Une probabilité ne dépasse jamais 1. Si tu trouves plus que 1, reprends ton calcul.
Quand toutes les issues ont les mêmes chances
Sur un dé bien équilibré, aucune des six faces n’est favorisée. Avec une pièce, pile et face ont autant de chances. Dans un sac, des boules de même taille et de même matière ont toutes la même chance d’être tirées.
On dit alors que les issues sont équiprobables : aussi probables les unes que les autres. Dans ce cas, et seulement dans ce cas, on calcule une probabilité en comptant. En sixième, tu ne verras que ce cas-là.
Le calcul tient en deux comptages. Compte les issues qui font gagner, puis toutes les issues. Sur un dé, pour obtenir un nombre pair : trois faces font gagner, sur six faces en tout.
La probabilité est donc 3 sur 6, qui se simplifie en 1 sur 2. En bas, on écrit le nombre total d’issues, pas le nombre d’issues qui font perdre.
De « a chances sur b » au quotient
Voici le point le plus important de l’année sur les probabilités. Dire « tu as 3 chances sur 4 de gagner », c’est déjà parler d’une division.
Le mot sur cache un trait de fraction. Trois chances sur quatre s’écrit 3 sur 4, c’est-à-dire 3 divisé par 4.
Ce même nombre s’écrit de trois façons : 3 sur 4 en fraction, 0,75 en écriture décimale, 75 pour cent en pourcentage.
| En fraction | En décimal | En pourcentage |
|---|---|---|
| 1 sur 2 | 0,5 | 50 pour cent |
| 1 sur 4 | 0,25 | 25 pour cent |
| 3 sur 4 | 0,75 | 75 pour cent |
Pour passer de la fraction au décimal, fais la division. Pour passer du décimal au pourcentage, compte les centièmes : 0,75, c’est 75 centièmes, donc 75 %. Un pourcentage se compare vite. Une fraction montre d’où vient le nombre.
Ce que donne l’expérience répétée
Lance une pièce dix fois. Le plus souvent, tu n’auras pas pile exactement cinq fois. Pourtant, la probabilité de pile est bien une chance sur deux.
Lance-la deux cents fois et compte la part de piles. Elle sera proche de la moitié, mais rarement la moitié tout juste. Recommence : tu trouveras un autre nombre, toujours dans les environs.
Cette part observée s’appelle la fréquence. Plus on répète l’expérience, plus elle se rapproche de la probabilité, sans forcément l’égaler. Une probabilité parle d’un très grand nombre d’essais. Elle ne dit pas ce que donnera le prochain lancer.
Trois piles de suite ne changent rien au lancer suivant : la pièce ne se souvient pas des lancers d’avant.
À retenir
- Une probabilité est un nombre entre 0 (impossible) et 1 (certain).
- « a chances sur b », c’est a divisé par b : le mot « sur » est un trait de fraction.
- La fréquence observée s’approche de la probabilité, sans forcément l’égaler.
Trois exercices, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Voici trois événements.
Proposition 1 : Tu lances une pièce à 2 faces et tu obtiens pile ou face.
Proposition 2 : Tu lances un dé à 6 faces et tu obtiens un nombre plus grand que 12.
Proposition 3 : Tu lances une pièce à 2 faces et tu obtiens pile.
Lequel de ces trois événements est impossible, c’est-à-dire sûr de ne pas arriver ?
Voir la correction
Un événement impossible n’arrive jamais : sa probabilité vaut 0.
La bonne réponse est celle-ci : Tu lances un dé à 6 faces et tu obtiens un nombre plus grand que 12.
Quoi qu’il arrive, le résultat est connu d’avance.
À l’autre bout de l’échelle, il y a celle-ci : Tu lances une pièce à 2 faces et tu obtiens pile ou face.
Elle se produit à tous les coups : sa probabilité vaut 1.
Reste la troisième : Tu lances une pièce à 2 faces et tu obtiens pile.
Elle peut arriver ou non : sa probabilité est entre 0 et 1, sans être ni 0 ni 1.
Une échelle graduée de 0 à 1. Le 0 porte l’étiquette impossible, le 1 porte l’étiquette certain. Tout ce qui peut arriver sans être sûr se place entre les deux.
Exercice 2
Un sac contient 11 boules de même taille et de même matière : 3 rouges, les autres vertes.
Tu tires une boule sans regarder dans le sac.
Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ? Écris-la sous la forme a/b.
Voir la correction
Les boules ont la même taille et la même matière. Aucune n’a plus de chances qu’une autre d’être tirée : les issues sont équiprobables, on peut compter.
Boules qui font gagner : 3. Ce nombre va au-dessus du trait.
Boules dans le sac : 11. Ce nombre va sous le trait, parce qu’une probabilité compare au tout.
La probabilité est donc 3 sur 11.
Ce nombre est bien entre 0 et 1, comme toute probabilité. Les rouges ne sont qu’une partie du sac.
Exercice 3
Dans un jeu, on t’annonce que tu as 1 chances sur 2 de gagner.
Écris cette probabilité en nombre décimal.
Voir la correction
Le mot sur est un trait de fraction : 1 chances sur 2 s’écrit 1 sur 2.
Une fraction est une division : on la pose.
Division posée en colonnes : 1 divisé par 2.
On obtient 0,5, c’est-à-dire 50 pour cent.
Les trois écritures 1 sur 2, 0,5 et 50 pour cent désignent le même nombre, compris entre 0 et 1.
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