Probabilités
Dire quelle chance a un événement de se produire, et l'écrire comme une fraction.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 2 autres. Si ça coince ici, c'est souvent là que ça se joue.
Peut-on mesurer une chance ?
On joue aux dés depuis l’Antiquité : on en a retrouvé dans des tombes égyptiennes et romaines. Pendant des siècles, personne n’a cherché à calculer les chances de gagner. On jouait, on gagnait, on perdait.
Au 17e siècle, un joueur pose à deux mathématiciens français, Blaise Pascal et Pierre de Fermat, une question qui traîne depuis longtemps : si une partie s’arrête avant la fin, comment partager équitablement les mises entre les joueurs ? Leur échange de lettres, en 1654, fonde le calcul des probabilités.
La question qu’ils ouvrent est celle de toute cette leçon : une chance, est-ce que ça se mesure ? Peut-on dire, avec un nombre, qu’un événement a plus de chances qu’un autre de se produire ? La réponse est oui, et le nombre en question s’appelle une probabilité.
Un nombre entre 0 et 1
Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1. Ces deux bornes ne sont pas choisies au hasard : elles disent les deux cas extrêmes.
Un événement impossible a une probabilité de 0 : obtenir 9 avec un dé à six faces. Un événement certain a une probabilité de 1 : obtenir un nombre plus petit que 7 avec ce même dé.
Une échelle graduée de 0 à 1, partagée en dix intervalles égaux. À gauche, 0 : l’événement impossible. À droite, 1 : l’événement certain. Au milieu, une flèche désigne 0,5, soit une chance sur deux. Plus on va vers la droite, plus l’événement a de chances de se produire.
Tout le reste se place entre les deux. Plus la probabilité est proche de 1, plus l’événement a de chances d’arriver. Aucune probabilité ne dépasse 1 : un résultat plus grand que 1 est le signe qu’il faut reprendre le calcul.
Quand toutes les issues ont les mêmes chances
Un dé bien équilibré a six faces, et aucune n’est favorisée. Une pièce a deux côtés, pile et face, et aucun n’est favorisé. Dans un sac, des boules de même taille et de même matière ont toutes les mêmes chances d’être tirées.
On dit alors que les issues sont équiprobables. C’est la seule situation où l’on calcule une probabilité en comptant, et c’est celle de toute la sixième.
Le calcul tient en deux comptages. Compte le nombre d’issues qui font gagner, puis le nombre d’issues en tout. Sur un dé, obtenir un nombre pair : trois faces font gagner, six faces en tout.
La probabilité est alors 3 sur 6, ce qui se simplifie en 1 sur 2. Attention à ce qu’on écrit en bas : le nombre total d’issues, pas le nombre d’issues qui font perdre.
De « a chances sur b » au quotient
C’est le point le plus important de l’année sur cette notion. Dire « tu as 3 chances sur 4 de gagner » et écrire une division, c’est dire la même chose.
Le mot sur cache un trait de fraction. Trois chances sur quatre s’écrit 3 sur 4, c’est-à-dire 3 divisé par 4.
Ce nombre s’écrit ensuite de trois façons, et les trois désignent le même nombre : 3 sur 4 en fraction, 0,75 en écriture décimale, 75 pour cent en pourcentage.
| En fraction | En décimal | En pourcentage |
|---|---|---|
| 1 sur 2 | 0,5 | 50 pour cent |
| 1 sur 4 | 0,25 | 25 pour cent |
| 3 sur 4 | 0,75 | 75 pour cent |
Pour passer de la fraction au décimal, effectue la division. Pour passer du décimal au pourcentage, lis combien il y a de centièmes. Choisis l’écriture qui parle le mieux : un pourcentage se compare vite, une fraction montre d’où vient le nombre.
Ce que donne l’expérience répétée
Lance une pièce dix fois. Tu obtiendras rarement exactement cinq fois pile, alors que la probabilité de pile est bien une chance sur deux.
Lance-la deux cents fois, et compte la part de piles : elle tombera près de la moitié, sans jamais y coller exactement. Recommence : tu trouveras encore autre chose, mais toujours dans les environs.
La part observée s’appelle la fréquence. Elle se rapproche de la probabilité quand on répète beaucoup, et elle ne la rejoint pas. Une probabilité annonce ce qui se passe sur un très grand nombre d’essais, jamais ce que donnera le prochain lancer.
C’est pour cela qu’une série de trois piles d’affilée ne change rien à la suite : la pièce ne garde aucun souvenir des lancers précédents.
À retenir
- Une probabilité est un nombre entre 0 (impossible) et 1 (certain).
- « a chances sur b » se lit a divisé par b : le mot sur est un trait de fraction.
- La fréquence observée s’approche de la probabilité, elle ne l’égale pas.
Deux exercices, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Voici trois événements. Tu ne peux pas savoir à l’avance ce qui se passera.
Proposition 1 : Tu lances une pièce à 2 faces et tu obtiens pile ou face.
Proposition 2 : Tu lances un dé à 6 faces et tu obtiens un nombre plus grand que 12.
Proposition 3 : Tu lances une pièce à 2 faces et tu obtiens pile.
Lequel de ces trois événements est impossible, c’est-à-dire sûr de ne pas arriver ?
Voir la correction
Un événement impossible n’arrive jamais : sa probabilité vaut 0.
La bonne réponse est celle-ci : Tu lances un dé à 6 faces et tu obtiens un nombre plus grand que 12.
Quoi qu’il arrive, le résultat est connu d’avance.
À l’autre bout de l’échelle, il y a celle-ci : Tu lances une pièce à 2 faces et tu obtiens pile ou face.
Elle se produit à tous les coups : sa probabilité vaut 1.
Reste la troisième : Tu lances une pièce à 2 faces et tu obtiens pile.
Elle peut arriver ou ne pas arriver : sa probabilité se place entre 0 et 1, sans toucher ni l’un ni l’autre.
Une échelle graduée de 0 à 1. Le 0 porte l’étiquette impossible, le 1 porte l’étiquette certain. Tout ce qui peut arriver sans être sûr se place entre les deux.
Exercice 2
Un sac contient 11 boules de même taille et de même matière : 3 rouges, les autres vertes.
Tu tires une boule sans regarder dans le sac.
Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ? Écris-la sous la forme a/b.
Voir la correction
Les boules ont la même taille et la même matière : aucune n’a plus de chances qu’une autre d’être tirée. Les issues sont équiprobables, on peut donc compter.
Nombre de boules qui font gagner : 3. Ce nombre va au-dessus du trait.
Nombre de boules dans le sac : 11. Ce nombre va au-dessous du trait, parce qu’une probabilité compare au tout.
La probabilité est donc 3 sur 11.
Ce nombre est compris entre 0 et 1, comme toute probabilité : on prend une partie des boules du sac, jamais plus que le sac entier.
Dans l'atelier, les valeurs changent à chaque fois : il n'y a pas de fin de série à apprendre par cœur.
Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Elle ne dit pas si votre enfant le sait. C'est la question à laquelle Canopée répond : une notion ne compte comme acquise que le jour où il réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. Voir comment.