Médiatrice
Construire la médiatrice d'un segment et trouver des points à égale distance.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 2 autres. Si ça coince ici, la cause est souvent une notion d'avant.
La droite qui coupe en deux, à angle droit
Prends un segment segment A B. Sa médiatrice est la droite qui remplit deux conditions à la fois.
Première condition : elle passe par le milieu du segment.
Seconde condition : elle est perpendiculaire à ce segment. Elle le coupe en faisant un angle droit.
Une seule condition ne suffit pas. Une infinité de droites passent par le milieu sans être perpendiculaires. Une infinité d’autres sont perpendiculaires sans passer par le milieu. La médiatrice est la seule droite qui fait les deux.
Ce qu’elle garantit, dans les deux sens
La définition sert à tracer la médiatrice. Pour raisonner, on utilise surtout la propriété qui suit.
Premier sens : si un point M est posé sur la médiatrice de segment A B, alors il est à la même distance de A et de B. Les longueurs longueur M A et longueur M B sont égales.
Deuxième sens, celui qu’on oublie souvent : si un point est à la même distance de A et de B, alors il est sur la médiatrice. Il ne peut pas être ailleurs.
Les deux sens tiennent en une phrase : les points de la médiatrice sont exactement les points à égale distance de A et de B.
La construire au compas
Le compas garde le même écartement tant que tu n’y touches pas. C’est l’outil qu’il faut pour tracer des distances égales.
Ouvre ton compas de plus de la moitié de segment A B, et ne change plus cette ouverture jusqu’à la fin.
Pique en A et trace un arc au-dessus du segment, puis un autre en dessous. Pique en B, sans toucher au compas, et trace deux arcs qui coupent les premiers. Ils se croisent en deux points, P et Q.
Relie P et Q à la règle : cette droite est la médiatrice de [AB]. Pourquoi ? Le compas n’a pas bougé, donc P est à la même distance de A et de B. Q aussi. Et un point à égale distance de A et de B est sur la médiatrice.
Si l’ouverture est trop petite, les arcs ne se croisent pas. Ouvre alors un peu plus le compas et recommence.
Trois médiatrices, un seul point
Prends un triangle ABC et trace les médiatrices de ses trois côtés. Les trois droites passent par un même point.
Appelons ce point O. Il est sur la médiatrice de segment A B, donc longueur O A égale longueur O B. Il est aussi sur la médiatrice de segment A C, donc longueur O A égale longueur O C.
Les trois distances sont donc égales. Pique le compas en O avec cet écartement : le cercle passe par les trois sommets. C’est le cercle circonscrit au triangle.
À retenir
- La médiatrice de segment A B passe par le milieu de [AB] et lui est perpendiculaire.
- Ses points sont exactement ceux qui sont à égale distance de A et de B.
- Les trois médiatrices d’un triangle se coupent au centre du cercle circonscrit.
Deux exercices, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Voici un segment segment E G.
Parmi ces quatre propositions, laquelle est la médiatrice de segment E G ?
Voir la correction
La médiatrice de segment E G doit remplir les deux conditions à la fois.
Elle passe par le milieu du segment et elle lui est perpendiculaire. Sur la figure, les deux moitiés ont le même codage, et la droite coupe le segment à angle droit.
La perpendiculaire qui passe par E ne coupe pas le segment en son milieu. La droite qui passe par le milieu en penchant n’est pas perpendiculaire. Aucune des deux n’est la médiatrice.
Exercice 2
La droite tracée ci-dessous est la médiatrice du segment segment A B, qui mesure 10 cm. Le point M est posé sur cette médiatrice.
On a mesuré longueur M A = 6,9 cm.
Combien vaut longueur M B ?
Voir la correction
Le point M est posé sur la médiatrice de segment A B. On applique la propriété de la leçon.
Tout point de la médiatrice d’un segment est à la même distance de ses deux extrémités.
Donc longueur M B égale longueur M A, c’est-à-dire 6,9 cm.
La longueur de [AB] ne sert pas pour ce calcul.
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