Médiatrice
Construire la médiatrice d'un segment et trouver des points à égale distance.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 2 autres. Si ça coince ici, c'est souvent là que ça se joue.
La droite qui coupe en deux, à angle droit
Prends un segment segment A B. Sa médiatrice est la droite qui remplit deux conditions à la fois, et il en faut bien deux.
Première condition : elle passe par le milieu du segment.
Seconde condition : elle est perpendiculaire à ce segment, c’est-à-dire qu’elle le coupe en formant un angle droit.
Une seule des deux conditions ne suffit jamais. Une infinité de droites passent par le milieu de A et B sans être perpendiculaires, et une infinité de droites sont perpendiculaires au segment sans passer par son milieu. La médiatrice est la seule qui fait les deux.
Ce qu’elle garantit, et dans les deux sens
La définition sert à tracer. La propriété qui suit sert à raisonner, et c’est elle qu’on utilise le plus souvent.
Premier sens : si un point M est posé sur la médiatrice de segment A B, alors il est à la même distance de A et de B. Autrement dit longueur M A et longueur M B sont deux longueurs égales.
Second sens, et c’est celui qu’on oublie : si un point est à la même distance de A et de B, alors il est forcément sur la médiatrice. Aucun point à égale distance ne se cache ailleurs.
On dit que les points de la médiatrice sont exactement les points à égale distance des deux extrémités. Ce mot « exactement » emballe les deux sens en une phrase.
La construire au compas
Le compas trace des points à distance constante : c’est exactement l’outil qu’il faut pour une droite définie par des distances égales.
Ouvre ton compas de plus de la moitié de segment A B, et ne change plus cette ouverture jusqu’à la fin.
Pique en A, trace un arc au-dessus du segment et un autre en dessous. Pique en B, sans rien toucher au compas, et trace deux arcs qui croisent les premiers. Tu obtiens deux points de croisement, P et Q.
Joins P et Q à la règle : cette droite est la médiatrice de [AB]. P et Q sont à égale distance de A et de B, puisque le compas n’a pas bougé, et c’est cela qui fait marcher la construction.
Si l’ouverture est trop petite, les arcs ne se croisent pas et il n’y a rien à joindre. C’est le seul piège du tracé, et il se voit tout de suite.
Trois médiatrices, un seul point
Prends un triangle ABC et trace les médiatrices de ses trois côtés. Elles ne se coupent pas en trois endroits différents : les trois passent par un même point.
Ce point, appelons-le O, est sur la médiatrice de segment A B donc longueur O A égale longueur O B. Il est aussi sur la médiatrice de segment A C, donc longueur O A égale longueur O C.
Les trois distances sont donc égales. En piquant le compas en O avec cette ouverture, on trace un cercle qui passe par les trois sommets : c’est le cercle circonscrit au triangle.
À retenir
- La médiatrice de segment A B passe par le milieu de [AB] et lui est perpendiculaire.
- Ses points sont exactement ceux qui sont à égale distance de A et de B.
- Les trois médiatrices d’un triangle se coupent au centre du cercle circonscrit.
Deux exercices, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
On considère un segment segment E G.
Parmi ces quatre droites, laquelle est la médiatrice de segment E G?
Voir la correction
La médiatrice de segment E G doit remplir les deux conditions à la fois.
Elle passe par le milieu du segment, et elle lui est perpendiculaire. Sur la figure, les deux moitiés portent le même codage et la droite coupe le segment en formant un angle droit.
Une droite perpendiculaire au segment mais qui passe par E n’est pas la médiatrice : elle ne partage rien en deux. Une droite qui passe par le milieu en penchant n’est pas la médiatrice non plus.
Exercice 2
La droite tracée ci-dessous est la médiatrice du segment segment A B, qui mesure 10 cm. Le point M est posé sur cette médiatrice.
On a mesuré longueur M A = 6,9 cm.
Combien vaut longueur M B?
Voir la correction
Le point M est posé sur la médiatrice de segment A B. La propriété de la leçon s’applique telle quelle.
Tout point posé sur la médiatrice d’un segment est à la même distance des deux extrémités de ce segment.
Donc longueur M B égale longueur M A, c’est-à-dire 6,9 cm.
Remarque : la longueur du segment [AB] n’intervient pas dans le calcul. Elle sert seulement à savoir où poser la médiatrice.
Dans l'atelier, les valeurs changent à chaque fois : il n'y a pas de fin de série à apprendre par cœur.
Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Elle ne dit pas si votre enfant le sait. C'est la question à laquelle Canopée répond : une notion ne compte comme acquise que le jour où il réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. Voir comment.