Droites du triangle

Tracer les médiatrices, hauteurs et médianes d'un triangle, et voir où elles se croisent.

La question qui les départage

Médiane, médiatrice, hauteur, bissectrice. Quatre noms qui se ressemblent, et on les apprend souvent comme quatre définitions à retenir.

Une définition oubliée ne se retrouve pas. Une question, si. Alors pose toujours la même : qu’est-ce que cette droite partage en deux ?

Il n’y a que trois réponses possibles. Elle partage un côté. Elle partage un angle. Elle ne partage rien du tout.

Trois réponses pour quatre droites : deux d’entre elles partagent un côté. C’est exactement là que tout se joue, et on y revient à la fin.

Un côté, un angle, ou rien

La médiane part d’un sommet et rejoint le milieu du côté d’en face. Elle partage un côté en deux morceaux de même longueur.

La médiatrice coupe elle aussi un côté en son milieu, mais elle arrive à angle droit. Et elle ne part d’aucun sommet : elle appartient au côté, pas au sommet.

La bissectrice part d’un sommet et coupe l’angle de ce sommet en deux angles de même mesure. Elle partage un angle, jamais un côté.

La hauteur part d’un sommet et tombe à angle droit sur le côté d’en face. Elle ne partage rien : elle mesure une distance, celle du sommet au côté.

Trois de chaque, et chaque famille se retrouve

Un triangle a trois sommets et trois côtés. Tu peux donc tracer trois médianes, trois hauteurs, trois bissectrices et trois médiatrices.

Trace les trois médiatrices d’un triangle ABC : elles se croisent toutes les trois en un même point. Ce point est à la même distance de A, de B et de C, donc c’est le centre du cercle qui passe par les trois sommets.

Les trois médianes se croisent elles aussi en un seul point. Découpe le triangle dans du carton et pose ce point sur la pointe d’un crayon : le carton tient en équilibre.

Les trois hauteurs se croisent en un point, les trois bissectrices aussi. Ces quatre points ne sont pas au même endroit, sauf si le triangle est équilatéral.

Voici où presque tout le monde se trompe

La médiane et la médiatrice. Les deux coupent le même côté en son milieu, les deux noms commencent pareil, et on les échange.

Deux traits les séparent, et l’un des deux tranche à lui seul. La médiatrice arrive à angle droit sur le côté, la médiane non. La médiane part d’un sommet, la médiatrice d’aucun.

Le test le plus rapide tient en une question : est-ce que la droite doit passer par un sommet ? Des quatre, la médiatrice est la seule à répondre non.

L’autre confusion est plus discrète. On croit que la bissectrice coupe aussi le côté d’en face en son milieu. Elle le coupe, oui, mais pas en son milieu. Elle partage l’angle, pas le côté.

Un exercice, tout de suite

Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.

Exercice 1

Dans le triangle BDF, le côté [BD] mesure 22 cm. L’angle de sommet F mesure 30 degrés.

La description : Cette droite part de F et partage l’angle de sommet F en deux angles de même mesure.

Une seule de ces quatre droites correspond à cette description. Laquelle ?