Angles et parallèles

Repérer les angles alternes-internes, et en déduire que deux droites sont parallèles.

Deux droites, une sécante, huit angles

Trace deux droites parallèles, l’une au-dessus de l’autre. Trace ensuite une troisième droite qui les traverse en biais. Cette troisième droite s’appelle une sécante.

Elle coupe la première parallèle en un point, la seconde en un autre point. Autour de chacun de ces deux points, quatre angles se forment. Huit angles en tout.

Pour parler de l’un de ces huit angles sans le montrer du doigt, deux renseignements suffisent, et ils sont toujours les mêmes.

Le premier : de quel côté de la sécante il se trouve. La sécante partage la feuille en deux, un côté gauche et un côté droit.

Le second : où il se trouve par rapport aux deux parallèles. Soit il est dans le couloir entre les deux droites, soit il est à l’extérieur de ce couloir.

Si la figure de ton contrôle est penchée, tourne la feuille jusqu’à ce que les deux parallèles soient horizontales. Les positions ne changent pas, seul ton point de vue change.

Compte ce qui change

Prends deux angles, un autour de chaque point d’intersection. Compare-les sur les deux renseignements, l’un après l’autre.

Le côté de la sécante : pareil, ou différent ? Le couloir : les deux angles sont-ils du même côté du couloir, ou l’un dedans et l’autre dehors ?

Compte maintenant ce qui change d’un angle à l’autre. Un seul des deux renseignements change : les deux angles ont la même mesure. Les deux changent, ou bien aucun ne change : les deux angles font 180 degrés ensemble.

Les noms du cours se rangent là-dedans, et ils décrivent la position au lieu de l’étiqueter. « Alternes » veut dire de part et d’autre de la sécante. « Internes » veut dire dans le couloir, « externes » veut dire dehors. « Correspondants » veut dire même côté de la sécante, l’un dans le couloir et l’autre dehors.

Cette règle tient parce que les deux droites sont parallèles. Sur deux droites qui ne le sont pas, elle ne dit plus rien du tout.

L’aller-retour entre position et mesure

Le sens direct part du parallélisme : je sais que les deux droites sont parallèles, j’en déduis des mesures d’angles.

Le sens retour part des mesures : je constate que deux angles alternes-internes ont la même mesure, j’en déduis que les deux droites sont parallèles.

C’est ce sens retour qui rend la notion précieuse. Le parallélisme est une propriété de position : deux droites parallèles ne se coupent nulle part, et « nulle part » ne se vérifie pas avec une règle, même très longue. Les angles, eux, se mesurent au rapporteur.

Deux angles alternes-internes égaux prouvent donc le parallélisme, sans rien mesurer d’autre. C’est aussi ce qui démontre que les trois angles d’un triangle font 180 degrés: on trace la parallèle à un côté qui passe par le sommet opposé, et les angles se replacent bout à bout le long de cette parallèle.

Voici où presque tout le monde se trompe

On apprend les trois noms par cœur : alternes-internes, correspondants, alternes-externes. Puis, devant une figure, on ne sait pas lequel des trois s’applique.

Alors on se replie sur un raccourci : « les droites sont parallèles, donc les angles sont égaux ». Ce raccourci marche pour la moitié des couples d’angles, exactement. L’autre moitié font 180 degrés ensemble, et le raccourci les rate toutes.

La cause n’est pas un manque de mémoire. Les trois noms ont été retenus ; c’est le lien entre le nom et la position qui n’a jamais été fait.

Le réflexe qui protège : avant de répondre, ne cherche pas le nom. Pose les deux questions dans l’ordre. Le côté de la sécante change-t-il ? Le couloir change-t-il ? Puis compte. Deux questions, dix secondes, et le nom vient tout seul après.

Un exercice, tout de suite

Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.

Exercice 1

Les droites droite d et droite d prime sont parallèles, tracées l’une au-dessus de l’autre. Une sécante les traverse en biais : elle coupe droite d en G, et droite d prime en H.

En G, un angle mesure 129 degrés. En H, un autre angle est marqué.

Ces deux angles sont correspondants. Combien mesure l’angle marqué en H ?

Ce que ça ouvre ensuite

• Angles du triangle (5e)