Aire du disque
Calculer l'aire d'un disque à partir de son rayon, sans la confondre avec son tour.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 2 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, c'est souvent là que ça se joue.
Deux formules qui se ressemblent trop
Sur un disque, deux questions différentes reviennent sans arrêt : combien mesure son tour, et combien de place il occupe. Les deux réponses s’écrivent avec pi et avec le rayon, et c’est exactement là qu’est le problème.
Le tour vaut 2 fois pi fois r. L’aire vaut pi fois r fois r.
Vues de loin, ces deux écritures se confondent. Recopiée de travers, l’une passe pour l’autre, et un calcul mené sans faute donne alors une réponse fausse.
Le test qui les sépare, sans rien retenir
Une aire se mesure en unités carrées : des cm², des m². Une longueur se mesure en cm ou en m, jamais en carrés.
Ce carré de l’unité vient du calcul lui-même : on obtient des cm² en multipliant des cm par des cm. La formule d’une aire contient donc forcément un carré, et celle d’un tour n’en contient aucun.
Tu n’as plus deux formules à départager de mémoire. Tu regardes laquelle porte un carré : c’est celle de l’aire. C’est vérifiable à chaque fois, même quand le souvenir a disparu.
Voici où presque tout le monde se trompe
L’erreur la plus fréquente sur le disque est de calculer 2 fois pi fois r alors que la question porte sur l’aire. Le calcul est juste, la grandeur ne l’est pas, et tout est faux.
Elle coûte cher parce qu’elle ne se voit pas. Un tour a l’air d’un résultat comme un autre : aucun nombre ne dit tout seul qu’il mesure la mauvaise chose.
Le réflexe qui la supprime tient en une ligne : écris l’unité de ta réponse avant de calculer. Des cm² réclament un carré dans la formule, des cm l’interdisent.
La même vérification attrape l’autre étourderie, celle qui écrit pi fois r et oublie le carré du rayon.
Vérifier son résultat par l’ordre de grandeur
Un disque de rayon r tient tout juste dans un carré de côté 2 fois r, dont l’aire vaut 4 fois r fois r.
Le disque en occupe un peu plus des trois quarts. Comme pi vaut environ 3,14, son aire fait un peu plus de trois fois r fois r.
Si ton résultat descend sous r fois r ou dépasse 4 fois r fois r, quelque chose s’est perdu en route.
À retenir
- Une aire se mesure en unités carrées, donc sa formule contient un carré.
- Aire du disque : pi fois r fois r. Tour du disque : 2 fois pi fois r.
- Dans le doute, lis l’unité demandée : des cm² réclament le carré, des cm non.
Un exercice, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Une galette ronde a un rayon de 18 cm.
Son aire s’écrit n fois pi cm². Donne le nombre n, sans remplacer pi par une valeur approchée.
Voir la correction
La réponse est une aire, en cm². Une aire se compte en unités carrées, donc sa formule contient un carré : pi fois 18 fois 18.
18 fois 18 égale 324, donc l’aire vaut 324 pi cm². Le nombre demandé est 324.
Le tour, lui, vaudrait 2 fois pi fois 18 égale 36 pi cm : une longueur, sans carré, et un tout autre nombre.
Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Elle ne dit pas si votre enfant le sait. C'est la question à laquelle Canopée répond dans son atelier : une notion ne compte comme acquise que le jour où l'élève réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. L'atelier ouvre aujourd'hui la sixième ; le parcours de troisième arrivera avec la prépa brevet 2027. Voir comment.