Rédiger une démonstration
Enchainer donnée, propriété et conclusion, sans rien affirmer sans preuve.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 2 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, la cause est souvent une notion d'avant.
Un chemin fait de pas
Un calcul se lit de gauche à droite et donne un nombre. Une démonstration se lit de haut en bas et donne un chemin.
Ce chemin est fait de pas. Chaque pas part de ce que tu sais et ajoute une seule ligne.
Ce que tu déduis à un pas, tu le sais au pas suivant. C’est cet enchaînement qu’on attend sur ta copie.
En géométrie, on voit souvent la bonne réponse sur la figure. Ce qui manque le plus souvent, c’est de l’écrire pas à pas.
Les trois temps d’un pas
Un pas s’écrit toujours en trois temps, dans cet ordre.
Ce que je sais : les données de l’énoncé, ou ce qu’un pas d’avant a déjà prouvé.
La propriété : la phrase du cours qui te donne le droit d’écrire la suite.
Ce que j’en déduis : la ligne nouvelle, que tu n’avais pas avant.
Sur ta copie, ils s’écrivent avec trois mots : Je sais que, Or, Donc. Le mot « Or » t’oblige à écrire la propriété.
À quoi sert la propriété
On croit souvent que la propriété est là pour faire plaisir au prof.
En fait, c’est elle qui te permet de passer d’une ligne à la suivante. Sans elle, tu as deux phrases l’une sous l’autre, et rien ne dit pourquoi la deuxième suit la première.
Ta conclusion peut alors être vraie, mais rien ne la prouve.
Pour vérifier, relis chaque ligne et demande-toi : de quel droit ? Si aucune phrase du cours ne répond, cette ligne n’est pas justifiée.
Trois façons de perdre un pas
Il y a trois façons de perdre un pas. Presque tout le monde tombe un jour dans l’une d’elles.
La première : citer la propriété dans l’autre sens. Pythagore sert quand tu SAIS que le triangle est rectangle. Sa réciproque sert quand tu VEUX prouver qu’il l’est. Les deux phrases se ressemblent, mais elles ne servent jamais au même moment.
La deuxième : citer une propriété vraie, du bon chapitre, mais qui ne parle pas de tes données. Voir un triangle ne suffit pas. La propriété doit parler de ce que tu sais.
La troisième : redire la conclusion au lieu de la justifier. « Le triangle est rectangle parce qu’il a un angle droit » tourne en rond. La figure t’aide à chercher. Elle ne prouve rien.
À retenir
- Un pas a trois temps : ce que je sais, la propriété, ce que j’en déduis.
- La propriété te donne le droit de passer d’une ligne à la suivante.
- Sans propriété, même une conclusion vraie n’est pas démontrée.
Un exercice, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Voici un pas de démonstration. La première et la dernière ligne sont écrites.
Ce que je sais : Le point S est sur [PQ], le point T est sur [PR], et les droites (ST) et (QR) sont parallèles. On a PS égale 10 cm et PQ égale 30 cm.
Ce que j’en déduis : PS sur PQ égale PT sur PR.
Il manque la propriété entre les deux. Laquelle des quatre permet ce passage ?
Voir la correction
Voici le pas complet.
Je sais que Le point S est sur [PQ], le point T est sur [PR], et les droites (ST) et (QR) sont parallèles. On a PS égale 10 cm et PQ égale 30 cm.
Or Si deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, alors les rapports des longueurs découpées à partir du point d’intersection sont égaux.
Donc PS sur PQ égale PT sur PR.
C’est la ligne « Or » qui te donne le droit d’écrire « Donc ».
Les trois autres ne marchent pas ici. L’une va dans l’autre sens. Une autre ne parle pas de tes données. La dernière redit la conclusion sans la justifier.
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