Rédiger une démonstration
Enchainer donnée, propriété et conclusion, sans rien affirmer sans preuve.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 2 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, c'est souvent là que ça se joue.
Ce n’est pas un calcul, c’est un enchaînement
Un calcul se lit de gauche à droite et donne un nombre. Une démonstration se lit de haut en bas et donne un chemin.
Ce chemin est fait de pas. Chaque pas part de ce que tu sais déjà et ajoute une ligne, une seule.
Ce que tu déduis à un pas devient ce que tu sais au pas suivant. C’est ça, l’enchaînement, et c’est lui qui est noté.
Quand une réponse n’est pas acceptée en géométrie, ce n’est presque jamais parce que l’élève n’a pas vu la figure. C’est parce que sa réponse n’a pas cette forme.
Les trois temps d’un pas
Un pas s’écrit toujours en trois temps, dans cet ordre.
Ce que je sais : les données de l’énoncé, ou ce qu’un pas précédent a déjà déduit.
La propriété : la phrase de cours qui autorise le passage.
Ce que j’en déduis : la ligne nouvelle, celle que tu n’avais pas avant.
Sur ta copie, ces trois temps s’écrivent avec trois mots : Je sais que, Or, Donc. Garde-les, ils t’empêchent de sauter le deuxième.
La propriété n’est pas une politesse
Beaucoup croient que nommer la propriété sert à faire plaisir au professeur. C’est l’inverse.
C’est elle, et elle seule, qui autorise le passage d’une ligne à la suivante. Enlève-la : tu obtiens deux affirmations posées l’une sous l’autre, et rien ne dit pourquoi la seconde suit la première.
Ta conclusion peut alors être vraie sans que tu aies démontré quoi que ce soit. Un résultat juste ne rachète pas un pas manquant.
Le contrôle tient en trois mots. Relis chaque ligne et demande de quel droit ? Si tu ne peux pas répondre en citant une phrase de cours, cette ligne n’est pas justifiée.
Voici où presque tout le monde se trompe
Il y a trois façons de perdre un pas, et aucune n’est de la distraction.
La première : citer la propriété dans l’autre sens. Pythagore sert quand tu SAIS que le triangle est rectangle. Sa réciproque sert quand tu VEUX prouver qu’il l’est. Les deux phrases se ressemblent et ne s’utilisent jamais au même moment.
La deuxième : citer une propriété vraie, du bon chapitre, mais qui ne parle pas de tes données. Reconnaître le décor ne remplace pas le raisonnement.
La troisième est la plus tenace : redire la conclusion à la place de la justifier. « Le triangle est rectangle parce qu’il a un angle droit » tourne en rond. La figure ne justifie rien, elle sert à chercher.
À retenir
- Un pas a trois temps : ce que je sais, la propriété, ce que j’en déduis.
- C’est la propriété citée qui autorise le passage d’une ligne à la suivante.
- Sans propriété, une conclusion vraie ne démontre toujours rien.
Un exercice, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Voici un pas de démonstration. Sa première ligne et sa dernière sont écrites.
Ce que je sais : Le point S est sur [PQ], le point T est sur [PR], et les droites (ST) et (QR) sont parallèles. On a PS égale 10 cm et PQ égale 30 cm.
Ce que j’en déduis : PS sur PQ égale PT sur PR.
Entre les deux, il manque la propriété qui autorise ce passage. Laquelle des quatre propositions joue ce rôle ?
Voir la correction
Le pas complet, dans ses trois temps.
Je sais que Le point S est sur [PQ], le point T est sur [PR], et les droites (ST) et (QR) sont parallèles. On a PS égale 10 cm et PQ égale 30 cm.
Or Si deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, alors les rapports des longueurs découpées à partir du point d’intersection sont égaux.
Donc PS sur PQ égale PT sur PR.
La ligne du milieu est celle qui autorise le passage. Sans elle, tu as deux affirmations posées l’une sous l’autre, et ta conclusion peut être vraie sans être démontrée.
Les trois autres propositions ne tiennent pas ce rôle. L’une va dans l’autre sens et partirait de la conclusion. Une autre est vraie, mais ne parle pas de ce que tu sais ici. La dernière redit l’arrivée, sans dire par quel droit tu y arrives.
Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Elle ne dit pas si votre enfant le sait. C'est la question à laquelle Canopée répond dans son atelier : une notion ne compte comme acquise que le jour où l'élève réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. L'atelier ouvre aujourd'hui la sixième ; le parcours de troisième arrivera avec la prépa brevet 2027. Voir comment.