Probabilités à deux épreuves
Calculer une probabilité sur deux tirages en suivant les branches d’un arbre.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 2 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, c'est souvent là que ça se joue.
- Probabilités (4e)
- Fractions simples (6e)
Deux tirages, et un arbre pour n’en oublier aucun
Tu tires une bille, tu la remets dans le sac, puis tu en tires une seconde. Il y a maintenant deux étapes, donc plusieurs façons d’arriver au même résultat.
L’arbre sert exactement à ça : un étage par tirage, une branche par couleur possible. Chaque chemin, du départ jusqu’au bout, est une issue. L’arbre les montre toutes.
Ici la bille revient toujours dans le sac. Le sac est donc le même aux deux tirages, et les probabilités du second tirage sont celles du premier.
Sans remise, ce serait différent : il resterait une bille de moins, et toutes les probabilités du second tirage seraient à recalculer. Tous les exercices de ce chapitre se font avec remise.
Les deux règles de l’arbre
Le long d’une branche, on MULTIPLIE. Les deux tirages arrivent l’un puis l’autre, tous les deux.
Entre plusieurs branches, on ADDITIONNE. Chacune convient, et une seule se produira.
Il n’y a pas de troisième règle. Tout le chapitre tient dans ces deux gestes.
Voici où presque tout le monde se trompe
On additionne le long d’une branche, au lieu de multiplier. C’est l’erreur du chapitre, très loin devant le reste, et elle vient d’une règle juste appliquée au mauvais étage.
Le moyen de trancher tient en trois mots : « et » multiplie, « ou » additionne.
« Bleue au premier tirage ET bleue au second » : les deux arrivent, on multiplie. « Deux bleues OU deux jaunes » : l’un ou l’autre convient, on additionne.
Alors relis la question avant de calculer, et cherche le « et » et le « ou ». Ce sont eux qui décident de l’opération, pas la forme du dessin.
Ce que l’arbre te permet de vérifier
Les branches qui partent d’un même point ont des probabilités dont la somme vaut 1. Si tu ne tombes pas sur 1, il te manque une branche.
Multiplier deux nombres plus petits que 1 donne un résultat plus petit que chacun des deux. Un chemin est donc toujours moins probable qu’un seul tirage. Si ton résultat grandit, tu as additionné là où il fallait multiplier.
À retenir
- Le long d’une branche, on multiplie : les deux tirages arrivent l’un puis l’autre.
- Entre plusieurs branches, on additionne : l’un OU l’autre chemin convient.
- « et » multiplie, « ou » additionne. C’est ce qui tranche quand tu hésites.
- Avec remise, le second tirage se fait dans le même sac : les probabilités ne changent pas.
Un exercice, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Un sac contient 4 billes bleues et 5 billes jaunes, indiscernables au toucher. On en tire une au hasard, on note sa couleur, puis on la REMET dans le sac. On en tire ensuite une seconde.
Quelle est la probabilité d’obtenir deux billes de la même couleur ?
Voir la correction
Le sac contient 9 billes en tout, et la bille revient à chaque fois. À chaque tirage, la probabilité de bleue vaut 4 sur 9, et celle de jaune vaut 5 sur 9.
Deux chemins donnent deux billes de la même couleur. On les traite l’un après l’autre.
Chemin « bleue puis bleue » : les deux tirages arrivent, donc on multiplie. 4 sur 9 multiplié par 4 sur 9 égale 16 sur 81.
Chemin « jaune puis jaune » : 5 sur 9 multiplié par 5 sur 9 égale 25 sur 81.
L’un OU l’autre convient, donc on additionne les deux chemins : 16 sur 81 plus 25 sur 81 égale 41 sur 81.
Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Elle ne dit pas si votre enfant le sait. C'est la question à laquelle Canopée répond dans son atelier : une notion ne compte comme acquise que le jour où l'élève réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. L'atelier ouvre aujourd'hui la sixième ; le parcours de troisième arrivera avec la prépa brevet 2027. Voir comment.