Probabilités à deux épreuves
Calculer une probabilité sur deux tirages en suivant les branches d’un arbre.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur 2 autres, parfois d'un niveau plus bas. Si ça coince ici, la cause est souvent une notion d'avant.
- Probabilités (4e)
- Fractions simples (6e)
Deux tirages, un arbre
Un sac contient 2 billes bleues et 3 billes jaunes. Tu tires une bille, tu notes sa couleur et tu la remets. Puis tu en tires une seconde.
L’arbre montre tout ce qui peut arriver : un étage par tirage, une branche par couleur. Sur chaque branche, on écrit sa probabilité : 2 sur 5 pour bleue, 3 sur 5 pour jaune.
Un chemin va du départ jusqu’au bout. Il y en a quatre, donc quatre issues : BB, BJ, JB et JJ. BJ veut dire bleue, puis jaune.
La bille revient dans le sac. Au second tirage, les branches portent donc les mêmes nombres qu’au premier.
Le long d’un chemin, on multiplie
| 1er puis 2e | B1 | B2 | J1 | J2 | J3 |
|---|---|---|---|---|---|
| B1 | BB | BB | BJ | BJ | BJ |
| B2 | BB | BB | BJ | BJ | BJ |
| J1 | JB | JB | JJ | JJ | JJ |
| J2 | JB | JB | JJ | JJ | JJ |
| J3 | JB | JB | JJ | JJ | JJ |
Pourquoi multiplier ? Numérote les billes : B1, B2, puis J1, J2, J3. Deux tirages donnent 5 × 5 = 25 couples, qui ont tous la même chance de sortir.
Les couples « bleue puis bleue » forment un bloc de 2 lignes sur 2 colonnes : 4 cases sur 25. La probabilité de BB vaut 4 sur 25.
Or 4 sur 25, c’est exactement 2 sur 5 fois 2 sur 5. Le long d’un chemin, on multiplie les probabilités de ses branches.
Plusieurs chemins, on additionne
Deux billes de la même couleur : c’est BB ou JJ. Deux chemins conviennent.
Chaque chemin se calcule en multipliant : 2 sur 5 fois 2 sur 5 égale 4 sur 25 pour BB, et 3 sur 5 fois 3 sur 5 égale 9 sur 25 pour JJ.
Un seul des deux chemins se produira, l’un ou l’autre. Alors on additionne : 4 sur 25 plus 9 sur 25 égale 13 sur 25.
Un chemin est plus rare que ses branches
Une droite graduée de 0 à 1. On y a repéré, de gauche à droite, 4/25, puis 2/5, puis 4/5.
Voici l’endroit où presque tout le monde se trompe : ajouter les deux branches d’un même chemin. 2 sur 5 plus 2 sur 5 égale 4 sur 5, bien plus loin que 2 sur 5 sur la droite.
Deux bleues de suite deviendraient alors plus probables qu’une seule bleue. Impossible : il faut réussir le premier tirage, puis encore le second.
Chaque tirage de plus rend le chemin plus rare : 4 sur 25 est plus petit que 2 sur 5.
Garde ce test : un chemin est toujours moins probable que chacune de ses branches.
Sans remise, le second étage change
Cette fois, la bille tirée ne revient pas dans le sac. Au second tirage, il ne reste que 4 billes.
Après une bleue, il reste 1 bleue et 3 jaunes : les branches portent 1 sur 4 et 3 sur 4. Après une jaune, il reste 2 bleues et 2 jaunes.
Les deux règles ne changent pas. BB vaut 2 sur 5 fois 1 sur 4 égale 2 sur 20, soit 1 sur 10.
À retenir
- Le long d’un chemin, on multiplie les probabilités de ses branches.
- Si plusieurs chemins conviennent, on additionne leurs probabilités.
- Sans remise, le second tirage se fait dans un sac qui a une bille de moins.
Deux exercices, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Une trousse contient 7 stylos rouges et 5 stylos blancs, indiscernables au toucher. On tire un stylo au hasard, on note sa couleur, puis on le remet dans la trousse. On tire ensuite un second stylo.
Quelle probabilité faut-il écrire sur la branche marquée d’un point d’interrogation ?
Voir la correction
La branche marquée part de B et va vers R : au second tirage, on tire un stylo rouge.
Le stylo revient à chaque fois : à chaque tirage, il y a 12 stylos, dont 7 rouges.
On écrit donc 7 sur 12.
Exercice 2
Un bocal contient 2 bonbons bleus et 5 bonbons jaunes, indiscernables au toucher. On tire un bonbon au hasard, on note sa couleur, puis on le remet dans le bocal. On tire ensuite un second bonbon.
Quelle est la probabilité d’obtenir deux bonbons bleus ?
Voir la correction
Le bonbon revient à chaque fois : les deux étages portent les mêmes probabilités.
La question suit le chemin BB. Sa première branche porte 2 sur 7, la seconde 2 sur 7.
Le long d’un chemin, on multiplie : 2 sur 7 fois 2 sur 7 égale 4 sur 49.
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