Opérations sur les fractions
Comparer et additionner des fractions de même dénominateur, ou multiplier par un entier.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur une autre. Si ça coince ici, c'est souvent là que ça se joue.
Une fraction est une division qui tombe juste
Trois gâteaux, quatre enfants, un partage équitable. Chacun reçoit 3 sur 4 de gâteau.
Le trait de fraction est un signe de division, et 3 sur 4 est le résultat exact de 3 divisé par 4. Pas une valeur approchée, pas un arrondi : le résultat lui-même.
Selon les nombres, ce résultat prend trois visages. Parfois c’est un entier : 8 sur 4 vaut 2, parce que 8 divisé par 4 fait 2.
Parfois c’est un nombre à virgule : 3 sur 4 vaut 0,75, parce que la division de 3 par 4 s’arrête au bout de deux chiffres.
Et parfois la division ne s’arrête jamais : 1 sur 3 donne 0,3333… et le 3 se répète sans fin. Aucune écriture à virgule ne dit ce nombre exactement. La fraction, elle, le dit en deux chiffres.
C’est pour cette raison qu’on garde les fractions au lieu de tout convertir. Ce n’est pas une complication : c’est la seule écriture exacte des trois.
Deux écritures pour la même part
Coupe une barre en 3 et prends-en 2 : tu as 2 sur 3 de la barre.
Coupe la même barre en 6 et prends-en 4 : tu as 4 sur 6 de la barre.
Regarde les deux zones hachurées : elles couvrent la même longueur de barre. Donc 2 sur 3 et 4 sur 6 sont le même nombre, écrit de deux façons.
Ce qui s’est passé : chaque part a été coupée en deux, alors il y a deux fois plus de parts en tout et deux fois plus de parts prises. Multiplier le nombre du haut et le nombre du bas par un même nombre ne change pas la fraction.
Cela sert tout le temps, pour comparer comme pour vérifier un résultat.
Comparer deux fractions
Deux cas se règlent de tête, et ils couvrent presque tout ce que tu rencontreras cette année.
Premier cas, le même nombre du bas. Compare 3 sur 8 et 5 sur 8. Les parts ont exactement la même taille des deux côtés, alors celle qui en compte le plus est la plus grande : 5 sur 8 gagne.
Deuxième cas, le même nombre du haut. Compare 3 sur 5 et 3 sur 8. Tu prends 3 parts des deux côtés, mais les parts n’ont pas la même taille : coupée en 8, chaque part est plus mince que coupée en 5.
Donc 3 sur 5 est plus grand que 3 sur 8, bien que 8 soit plus grand que 5. Le nombre du bas compte les parts, il ne mesure pas leur taille.
Additionner quand le nombre du bas est le même
Voici la deuxième chose que presque tout le monde écrit de travers au début, et cela se répare en comprenant une seule idée.
Calcule 2 sur 7 + 3 sur 7.
On a envie d’additionner les deux étages et d’écrire 5 sur 14. Regarde ce que ça donnerait : en partant de deux parts et en en ajoutant trois, on obtiendrait un résultat plus petit que celui de départ. Ajouter aurait fait diminuer.
Ce qui se passe vraiment : les septièmes ont tous la même taille. Tu en as 2, tu en ajoutes 3, tu en as 5. La taille d’une part n’a pas bougé, alors le nombre du bas ne bouge pas non plus.
Donc 2 sur 7 + 3 sur 7 = 5 sur 7. On additionne les nombres du haut, jamais ceux du bas.
La soustraction suit exactement la même règle : 5 sur 7 − 3 sur 7 = 2 sur 7.
Multiplier une fraction par un entier
Multiplier par 3, c’est prendre 3 fois la même chose. Cela reste vrai avec des fractions.
Calcule 3 fois 2 sur 5.
C’est 2 sur 5 + 2 sur 5 + 2 sur 5. Tu viens de voir comment additionner : les parts gardent leur taille, on compte combien il y en a. Il y en a 6, donc le résultat est 6 sur 5.
Plus court : 3 fois 2 sur 5 égale 3 fois 2, sur 5, égale 6 sur 5. Seul le nombre du haut est multiplié.
Ici le résultat dépasse 1, et c’est normal : 3 fois un peu moins d’un demi, cela fait plus qu’une barre entière. Une fraction a parfaitement le droit d’être plus grande que 1.
À retenir
- Une fraction est le résultat exact d’une division : 3 sur 4 vaut 0,75.
- À même nombre du bas, on additionne les nombres du haut et on garde celui du bas.
- Multiplier par un entier ne touche que le nombre du haut.
Deux exercices, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
Calcule, et donne le résultat sous forme de fraction.
8 sur 12 moins 6 sur 12
Voir la correction
Les deux fractions ont le même nombre du bas : 12. Cela veut dire que leurs parts ont exactement la même taille.
On peut donc retirer les unes des autres et compter ce qui reste.
Il y en a 8 moins 6, donc 2 en tout.
La taille d’une part n’a pas changé, alors le nombre du bas ne change pas non plus. Le résultat est 2 sur 12.
Exercice 2
Calcule, et donne le résultat sous forme de fraction.
3 fois 1 sur 10
Voir la correction
Multiplier par 3, c’est prendre 3 fois la même chose. Ici, on prend 3 fois 1 sur 10.
Chaque fois, on ramasse 1 parts qui valent chacune 1 sur 10. Au bout de 3 tours, on en a 3 × 1 = 3.
La taille d’une part n’a pas bougé, donc le nombre du bas reste 10. Le résultat est 3 sur 10.
S'entraîner sur Opérations sur les fractions
Dans l'atelier, les valeurs changent à chaque fois : il n'y a pas de fin de série à apprendre par cœur.
Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Elle ne dit pas si votre enfant le sait. C'est la question à laquelle Canopée répond : une notion ne compte comme acquise que le jour où il réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. Voir comment.