Bissectrice
Construire la bissectrice d'un angle, qui le coupe en deux parts égales.
Avant celle-ci
Cette notion s'appuie sur une autre. Si ça coince ici, c'est souvent là que ça se joue.
Partager un angle en deux parts égales
La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui part du sommet et qui partage cet angle en deux angles de même mesure.
Le mot commence par « bi », comme bicyclette et comme bimensuel : deux. Elle fabrique deux angles égaux, pas deux angles quelconques.
Sur cette figure, la demi-droite demi-droite d'origine O passant par M est la bissectrice de l’angle angle A O B de sommet O. Les angles angle A O M de sommet O et angle M O B de sommet O ont donc la même mesure.
On parle ici d’un angle saillant, c’est-à-dire d’un angle qui ne dépasse pas l’angle plat. C’est le seul cas que tu rencontres cette année, et la bissectrice y est toujours à l’intérieur de l’angle.
La construire au compas
La construction reprend le geste de la médiatrice : deux ouvertures de compas conservées, deux arcs qui se croisent.
Pique d’abord en O, le sommet, et trace un arc qui coupe les deux côtés de l’angle. Tu obtiens deux points, P sur un côté et Q sur l’autre. Ils sont à la même distance de O, puisque le compas n’a pas bougé.
Pique ensuite en P et trace un arc à l’intérieur de l’angle. Pique en Q avec la même ouverture et trace un second arc. Les deux se croisent en un point R.
Joins O et R à la règle : la demi-droite demi-droite d'origine O passant par R est la bissectrice de l’angle. Les traits fins de la figure portent des codages : ils rappellent quelles longueurs sont restées égales pendant le tracé.
S’en servir pour retrouver une mesure
Un pliage suffit à comprendre à quoi elle sert. Trace un angle sur une feuille, découpe-le, puis plie la feuille pour que les deux côtés se superposent exactement.
Le pli obtenu est la bissectrice, et il te donne deux angles identiques.
De là vient le calcul le plus fréquent : si tu connais la mesure de l’angle entier, chacune des deux parts en vaut la moitié. Un angle de 80 degrés partagé par sa bissectrice donne deux angles de 40 degrés.
Le raisonnement marche aussi dans l’autre sens. Si tu connais une des deux parts, l’angle entier en vaut le double. Regarde bien ce que la question demande avant de diviser.
À retenir
- La bissectrice d’un angle le partage en deux angles de même mesure.
- Elle se construit au compas, avec deux ouvertures conservées.
- Chaque part vaut la moitié de l’angle entier, et l’angle entier vaut le double d’une part.
Deux exercices, tout de suite
Cherche d'abord, ouvre la correction ensuite. Se tromper ici ne coûte rien.
Exercice 1
L’angle angle A O B de sommet O mesure 132 degrés.
La demi-droite demi-droite d'origine O passant par M est la bissectrice de cet angle.
Combien mesure l’angle angle A O M de sommet O?
Voir la correction
La bissectrice partage l’angle angle A O B de sommet O en deux angles de même mesure : angle A O M de sommet O et angle M O B de sommet O.
Les deux parts étant égales, chacune vaut la moitié de l’angle entier.
Division posée : 132 degrés partagés en deux parts égales.
Chaque part mesure donc 66 degrés.
Vérification : 66 plus 66 redonne 132, qui est bien la mesure de l’angle du départ.
Exercice 2
L’angle angle A O B de sommet O mesure 144 degrés.
Trois demi-droites partent du point O. Chacune est décrite par l’angle qu’elle forme avec le côté demi-droite d'origine O passant par A.
Laquelle est la bissectrice de l’angle angle A O B de sommet O?
Voir la correction
La bissectrice partage l’angle en deux parts égales. Chaque part vaut donc la moitié de 144 degrés, soit 72 degrés.
La demi-droite cherchée est celle qui forme un angle de 72 degrés avec demi-droite d'origine O passant par A: ce qui reste de l’autre côté vaut alors 72 degrés aussi.
Une demi-droite qui formerait un angle de 144 degrés avec le premier côté ne serait pas à l’intérieur de l’angle : elle se poserait exactement sur le second côté.
Dans l'atelier, les valeurs changent à chaque fois : il n'y a pas de fin de série à apprendre par cœur.
Vous êtes parent ? Cette page dit ce qu'il faut savoir. Elle ne dit pas si votre enfant le sait. C'est la question à laquelle Canopée répond : une notion ne compte comme acquise que le jour où il réussit seul, sans indice, et qu'elle tient encore plusieurs jours plus tard. Voir comment.